Exercice 26

1. Vraie : un entier naturel $n$ s'écrit $n=\dfrac{n}{10^0}$, son écriture décimale s'arrête donc immédiatement.

2. Vraie : un décimal s'écrit $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb{Z}$, et $10^n$ est un entier non nul : c'est donc bien un quotient de deux entiers.

3. Fausse : le nombre $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$ est rationnel, mais son écriture décimale ne s'arrête jamais : il n'est pas décimal.

4. Fausse : pour $x=5\in\mathbb{Z}$, on a $-x=-5$, qui n'appartient pas à $\mathbb{N}$.

5. Vraie : $\pi$ est repérable sur la droite graduée donc $\pi\in\mathbb{R}$, mais c'est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et non périodique.

6. Fausse : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont irrationnels, mais $\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)=0$, qui est un entier.

7. Fausse : $3$ et $5$ sont des entiers naturels, mais $3-5=-2$ n'appartient pas à $\mathbb{N}$.

8. Fausse : $1$ et $3$ sont des nombres décimaux, mais $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$ n'est pas décimal.

9. Fausse : $\sqrt{2}$ et $1$ sont des nombres réels, mais $\dfrac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$ est irrationnel.

10. Vraie : soit $\dfrac{a}{b}$ un rationnel (avec $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$) et $k\in\mathbb{Z}$. Alors $\dfrac{a}{b}\times k=\dfrac{a\times k}{b}$, qui est bien un quotient de deux entiers avec $b\neq 0$.

11. Fausse : soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts. Si $\dfrac{p}{q}$ était un entier $k$, on aurait $p=k\times q$, donc $q$ serait un diviseur de $p$. Or les seuls diviseurs positifs de $p$ sont $1$ et $p$ : comme $q$ est premier, $q\neq 1$, et comme les deux nombres sont distincts, $q\neq p$. C'est donc impossible.

12. Vraie : $2$ et $5$ sont deux nombres premiers distincts, et $\dfrac{2}{5}=0{,}4$ est bien un nombre décimal.

a) Les nombres $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ conviennent, car $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$, qui est irrationnel : $$\boxed{\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}}$$

b) Les nombres $\sqrt{2}$ et $\sqrt{8}$ conviennent, car ils sont bien différents et : $$\boxed{\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4}$$

Ces deux questions montrent que le produit de deux irrationnels peut être aussi bien irrationnel que rationnel : on ne peut rien affirmer en général.