Exercice 12

Méthode : on repère le facteur commun, on factorise, puis on applique la règle du produit nul.

a) $x^{2}-5x=0 \iff x(x-5)=0$, d'où $x=0$ ou $x=5$ : $\boxed{S=\{0\,;5\}}$

b) $3x^{2}+6x=0 \iff 3x(x+2)=0$ : $\boxed{S=\{-2\,;0\}}$

c) $5x^{2}-2x=0 \iff x(5x-2)=0$ : $\boxed{S=\left\{0\,;\dfrac{2}{5}\right\}}$

d) $4x^{2}+x=0 \iff x(4x+1)=0$ : $\boxed{S=\left\{-\dfrac{1}{4}\,;0\right\}}$

e) $(x+1)(x-3)+(x+1)(2x+5)=0$. Le facteur commun est $(x+1)$ : $$(x+1)\big[(x-3)+(2x+5)\big]=0 \iff (x+1)(3x+2)=0 \qquad \boxed{S=\left\{-1\,;-\dfrac{2}{3}\right\}}$$

f) $(2x-1)(x+4)-(2x-1)(3x-2)=0$. Facteur commun $(2x-1)$ : $$(2x-1)\big[(x+4)-(3x-2)\big]=0 \iff (2x-1)(-2x+6)=0 \qquad \boxed{S=\left\{\dfrac{1}{2}\,;3\right\}}$$ Attention au signe $-$ devant la seconde parenthèse : $-(3x-2)=-3x+2$.

g) $(x-5)(x+2)+(x-5)=0$. Le second terme est $(x-5)\times 1$ : $$(x-5)\big[(x+2)+1\big]=0 \iff (x-5)(x+3)=0 \qquad \boxed{S=\{-3\,;5\}}$$ Piège classique : on oublie souvent le facteur $1$ et l'on écrit $(x-5)(x+2)=0$.

h) $3(x+2)-x(x+2)=0 \iff (x+2)(3-x)=0$ : $\boxed{S=\{-2\,;3\}}$

i) $(4x+3)^{2}-(4x+3)(x-1)=0$. Comme $(4x+3)^{2}=(4x+3)(4x+3)$ : $$(4x+3)\big[(4x+3)-(x-1)\big]=0 \iff (4x+3)(3x+4)=0 \qquad \boxed{S=\left\{-\dfrac{4}{3}\,;-\dfrac{3}{4}\right\}}$$

j) $2x(x-7)+3(x-7)=0 \iff (x-7)(2x+3)=0$ : $\boxed{S=\left\{-\dfrac{3}{2}\,;7\right\}}$