Exercice 13

On utilise l'identité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$.

a) $x^{2}-16=0 \iff (x-4)(x+4)=0$ : $\boxed{S=\{-4\,;4\}}$

b) $x^{2}-49=0 \iff (x-7)(x+7)=0$ : $\boxed{S=\{-7\,;7\}}$

c) $4x^{2}-9=0$. Ici $4x^{2}=(2x)^{2}$ et $9=3^{2}$ : $$(2x-3)(2x+3)=0 \qquad \boxed{S=\left\{-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right\}}$$

d) $25x^{2}-1=0 \iff (5x-1)(5x+1)=0$ : $\boxed{S=\left\{-\dfrac{1}{5}\,;\dfrac{1}{5}\right\}}$

e) $(x+2)^{2}-9=0$. On prend $a=x+2$ et $b=3$ : $$\big[(x+2)-3\big]\big[(x+2)+3\big]=0 \iff (x-1)(x+5)=0 \qquad \boxed{S=\{-5\,;1\}}$$

f) $(2x-1)^{2}-16=0 \iff (2x-1-4)(2x-1+4)=0 \iff (2x-5)(2x+3)=0$ : $$\boxed{S=\left\{-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{5}{2}\right\}}$$

g) $(x+3)^{2}-(x-1)^{2}=0$. On prend $a=x+3$ et $b=x-1$ : $$\big[(x+3)-(x-1)\big]\big[(x+3)+(x-1)\big]=0 \iff 4\times(2x+2)=0$$ Le facteur $4$ ne s'annule jamais, il reste $2x+2=0$ : $\boxed{S=\{-1\}}$

Une seule solution ici : le premier facteur, une fois réduit, ne contient plus $x$.

h) $9x^{2}-4=0 \iff (3x-2)(3x+2)=0$ : $\boxed{S=\left\{-\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\right\}}$

i) $(3x+1)^{2}-(x+5)^{2}=0 \iff \big[(3x+1)-(x+5)\big]\big[(3x+1)+(x+5)\big]=0$ $$\iff (2x-4)(4x+6)=0 \qquad \boxed{S=\left\{-\dfrac{3}{2}\,;2\right\}}$$

j) $16x^{2}-81=0 \iff (4x-9)(4x+9)=0$ : $\boxed{S=\left\{-\dfrac{9}{4}\,;\dfrac{9}{4}\right\}}$