Exercice 16

a) $(x-4)(2x+1)+(x-4)^{2}=0 \iff (x-4)\big[(2x+1)+(x-4)\big]=0 \iff (x-4)(3x-3)=0$ : $$\boxed{S=\{1\,;4\}}$$

b) $(3x+2)(x-5)-(x-5)(x+1)=0 \iff (x-5)\big[(3x+2)-(x+1)\big]=0 \iff (x-5)(2x+1)=0$ : $$\boxed{S=\left\{-\dfrac{1}{2}\,;5\right\}}$$

c) $(x+3)^{2}-(x+3)(2x-1)=0 \iff (x+3)\big[(x+3)-(2x-1)\big]=0 \iff (x+3)(-x+4)=0$ : $$\boxed{S=\{-3\,;4\}}$$

d) $4(x-1)+(x-1)(x+6)=0 \iff (x-1)\big[4+(x+6)\big]=0 \iff (x-1)(x+10)=0$ : $$\boxed{S=\{-10\,;1\}}$$

e) $(2x+5)(x-3)+(2x+5)=0 \iff (2x+5)\big[(x-3)+1\big]=0 \iff (2x+5)(x-2)=0$ : $$\boxed{S=\left\{-\dfrac{5}{2}\,;2\right\}}$$

f) $x^{2}-9+(x-3)(x+1)=0$. On factorise d'abord $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$, ce qui fait apparaître le facteur commun $(x-3)$ : $$(x-3)(x+3)+(x-3)(x+1)=0 \iff (x-3)\big[(x+3)+(x+1)\big]=0 \iff (x-3)(2x+4)=0$$

g) $4x^{2}-1+(2x-1)(x+4)=0$. Ici $4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1)$ : $$(2x-1)\big[(2x+1)+(x+4)\big]=0 \iff (2x-1)(3x+5)=0 \qquad \boxed{S=\left\{-\dfrac{5}{3}\,;\dfrac{1}{2}\right\}}$$

h) $25-x^{2}+(5+x)(2x-1)=0$. Ici $25-x^{2}=(5-x)(5+x)$ : $$(5+x)\big[(5-x)+(2x-1)\big]=0 \iff (5+x)(x+4)=0 \qquad \boxed{S=\{-5\,;-4\}}$$

Ce qu'il faut retenir de cet exercice : lorsqu'aucun facteur commun n'apparaît, on cherche s'il ne se cache pas dans une identité remarquable. C'est presque toujours le cas.