Exercice 19

Dans chacune de ces équations, une valeur trouvée à l'étape 2 doit être rejetée à l'étape 3.

a) $\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=0$ : V.I. $x=2$. Numérateur : $(x-2)(x+2)=0$ donne $x=2$ ou $x=-2$. La valeur $2$ est interdite, elle est rejetée : $\boxed{S=\{-2\}}$

b) $\dfrac{x^{2}-9}{x+3}=0$ : V.I. $x=-3$. Numérateur : $x=3$ ou $x=-3$. On rejette $-3$ : $\boxed{S=\{3\}}$

c) $\dfrac{(x-1)(x+5)}{x+5}=0$ : V.I. $x=-5$. Numérateur : $x=1$ ou $x=-5$. On rejette $-5$ : $\boxed{S=\{1\}}$

d) $\dfrac{x^{2}-5x}{x}=0$ : V.I. $x=0$. Numérateur : $x(x-5)=0$ donne $x=0$ ou $x=5$. On rejette $0$ : $\boxed{S=\{5\}}$

e) $\dfrac{(2x-6)(x+1)}{x-3}=0$ : V.I. $x=3$. Numérateur : $x=3$ ou $x=-1$. On rejette $3$ : $\boxed{S=\{-1\}}$

f) $\dfrac{x^{2}-16}{(x-4)(x+1)}=0$ : V.I. $x=4$ et $x=-1$. Numérateur : $x=4$ ou $x=-4$. On rejette $4$ : $\boxed{S=\{-4\}}$

g) $\dfrac{(x+2)^{2}}{x+2}=0$ : V.I. $x=-2$. Numérateur : $(x+2)^{2}=0$ donne $x=-2$, seule valeur possible. Elle est interdite, donc rejetée : $$\boxed{S=\varnothing}$$ C'est le cas le plus frappant : l'équation n'admet aucune solution, alors que le numérateur, lui, s'annule bien.

h) $\dfrac{3x^{2}-12}{x+2}=0$ : V.I. $x=-2$. Numérateur : $3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2)=0$ donne $x=2$ ou $x=-2$. On rejette $-2$ : $\boxed{S=\{2\}}$

Ces huit équations montrent pourquoi la troisième étape n'est jamais facultative. On serait tenté de simplifier d'emblée le quotient — par exemple d'écrire $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ à la question a) — mais cela suppose que $x-2$ n'est pas nul, ce qui est précisément la question posée.