ExerciceSeconde, chapitre 9 — Inéquations · Position relative de deux courbes

Exercice 24

Calcul

Sur le graphique ci-dessous sont tracées la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^{2}$ et la droite $d$ d'équation $y=x+2$ .

1. Lire les coordonnées des deux points d'intersection, marqués en violet.

2. Sur quel intervalle la parabole est-elle en dessous de la droite ?

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^{2}\leqslant x+2$ .

4. Vérifier ce résultat par le calcul, en utilisant la factorisation $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$ .

Corrigé

1. On lit les coordonnées des deux points marqués : $\boxed{(-1\,;1) \qquad \text{et} \qquad (2\,;4)}$

2. Entre ces deux abscisses, la parabole passe sous la droite : $\boxed{\mathcal{P} \text{ est en dessous de } d \text{ sur } \left]-1\,;2\right[}$

3. Dire que $x^{2}\leqslant x+2$ , c'est dire que la parabole est en dessous de la droite, ou la touche : $\boxed{S=\left[-1\,;2\right]}$

4. On étudie le signe de la différence : $x^{2}-(x+2)=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

La différence est négative ou nulle exactement sur $[-1\,;2]$ . $\boxed{\text{Le calcul confirme la lecture graphique}}$

inéquations, inéquation produit, position relative de courbes, intervalles