AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2022 — Jour 2, 19 mai 2022

Probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique, fonction exponentielle et points d'inflexion, géométrie dans l'espace, QCM sur le logarithme et la loi binomiale · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice suit la position d'un vélo entre deux points de location par des arbres pondérés, en déduit la relation $a_{n+1} = 0{,}6a_n + 0{,}24$ , établit par récurrence la forme explicite de $a_n$ et en étudie la limite. Le deuxième étudie un polynôme du troisième degré et son unique racine, puis, à l'aide de la dérivée seconde donnée, compte les points d'inflexion de la courbe de $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{1 + x^2}$ , profil d'un toboggan. Le troisième, dans une salle en forme de pavé droit, calcule un angle par le produit scalaire, une équation du plan $(ART)$ , l'intersection de ce plan avec une droite orthogonale et un point $N$ d'un segment qui rend deux rayons perpendiculaires. Le quatrième est un QCM sur le calcul avec le logarithme, une équation logarithmique, une étude de fonction et une loi binomiale.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbres pondérés et suite arithmético-géométrique des probabilités $a_n$ p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, $a_{n+1} = 0{,}6a_n + 0{,}24$ , raisonnement par récurrence, $a_n = 0{,}6 - 0{,}1 \times 0{,}6^{n-1}$ , limite et interprétation

Exercice 2 — Polynôme de degré 3, fonction exponentielle et points d'inflexion d'un toboggan p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$ , théorème des valeurs intermédiaires, tableau de signes, $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{1 + x^2}$ , tangente horizontale, dérivée seconde, point d'inflexion

Exercice 3 — Pavé droit : angle par le produit scalaire, plan $(ART)$ , droite orthogonale et rayons perpendiculaires p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — triangle isocèle, produit scalaire, angle géométrique, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, intersection d'une droite et d'un plan, paramétrage d'un segment, orthogonalité

Exercice 4 — QCM : calcul avec le logarithme, étude de fonction et loi binomiale p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Lois de Bernoulli et binomiale · Dérivabilité · Second degré · Espérance, variance, moments — QCM, propriétés algébriques du logarithme, $\ln x + \ln(x - 10) = \ln 3 + \ln 7$ , $f(x) = x^2(-1 + \ln x)$ , dérivée et tangente, tirage avec remise, loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}4)$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Dérivabilité Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces vectoriels et sous-espaces Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Anneaux de polynômes Espérance, variance et inégalités