AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2022 — Jour 2, 27 septembre 2022

Probabilités totales, loi binomiale et coût moyen, fonction logarithme et convexité, suite arithmético-géométrique, géométrie dans l'espace · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite la production de composants sur trois chaînes par un arbre pondéré et la formule des probabilités totales, étudie le nombre de défectueux dans un lot par une loi binomiale et calcule un coût moyen de fabrication. Le deuxième étudie, à l'aide de la fonction auxiliaire $g(x) = 2(x - 1) - x\ln x$ , les variations et la convexité de $f(x) = 3x - x\ln x - 2\ln x$ ainsi que son point d'inflexion. Le troisième modélise une population par la suite $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 100$ , l'étudie par récurrence et par une suite géométrique auxiliaire, et complète un programme Python de seuil. Le quatrième établit une équation du plan $(ABC)$ , la nature et l'aire du triangle $ABC$ , un angle par le produit scalaire et la distance de l'origine à ce plan.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Trois chaînes de montage : probabilités totales, loi binomiale et coût moyen p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré à trois branches, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}014\,5)$ , probabilité d'aucun défaut, coût moyen

Exercice 2 — Fonction logarithme : fonction auxiliaire, variations, convexité et point d'inflexion p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $g(x) = 2(x - 1) - x\ln x$ , fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = 3x - x\ln x - 2\ln x$ , $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ , point d'inflexion

Exercice 3 — Population protégée : suite arithmético-géométrique, récurrence et seuil en Python p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 100$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, $u_n = 1\,000(1 + 0{,}9^n)$ , limite et interprétation, programme Python de seuil

Exercice 4 — Plan $(ABC)$ , aire et angle d'un triangle, projeté orthogonal de l'origine p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — points non alignés, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, représentation paramétrique de $(DE)$ , produit scalaire, angle géométrique, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces