AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2023 — Jour 1, 26 septembre 2023

Fonction logarithme, dichotomie et tangentes, loi binomiale et probabilités conditionnelles sur les jumeaux, sphère et tétraèdre dans l'espace, suite logistique et modèle de Verhulst · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x)$ , localise l'unique solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ sur $\left[1, +\infty\right[$ par le théorème des valeurs intermédiaires et identifie la sortie d'une fonction Python de dichotomie, puis montre que $g(x) = \frac{\ln(x)}{1 + x^2}$ atteint son maximum en $\alpha$ et calcule le point d'intersection de deux tangentes. Le deuxième, à partir des naissances de jumeaux, utilise une loi binomiale pour le nombre d'accouchements doubles et cherche le plus petit $n$ tel que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$ , puis un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inverse pour les jumeaux monozygotes. Le troisième, dans l'espace, place des points sur une sphère de centre $K$ et de rayon 13, établit une équation du plan $(ABC)$ , la distance de $D$ à ce plan et le volume du tétraèdre $ABCD$ . Le quatrième montre que la suite $u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n)$ est croissante et converge vers $\frac{1}{2}$ , puis s'en sert pour un modèle de population inspiré de Verhulst.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonctions $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x)$ et $g(x) = \frac{\ln(x)}{1 + x^2}$ : valeurs intermédiaires, dichotomie, maximum et tangentes p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Informatique et algorithmique — $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x)$ , $f'(x) = -4x\ln(x)$ , théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie, $g(x) = \frac{\ln(x)}{1 + x^2}$ , maximum, intersection de deux tangentes

Exercice 2 — Accouchements doubles : loi binomiale, seuil, arbre pondéré et probabilité conditionnelle inverse p. 2–4

Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes — pourcentage, loi binomiale, $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$ , arbre pondéré, jumeaux monozygotes, indépendance, probabilité conditionnelle inverse

Exercice 3 — Sphère de centre $K$ , plan $(ABC)$ , distance d'un point à un plan et volume du tétraèdre $ABCD$ p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — sphère, triangle rectangle, vecteur normal, plan $(ABC)$ , représentation paramétrique, distance d'un point à un plan, volume d'un tétraèdre

Exercice 4 — Suite logistique $u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n)$ et modèle de population de Verhulst p. 4–5

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Dérivabilité — $u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n)$ , $f(x) = 2x(1 - x)$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, limite $\frac{1}{2}$ , modèle de Verhulst, suite géométrique

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Théorème de définition par récurrence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ