AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2023 — Jour 1, 23 mars 2023

Suite arithmético-géométrique et algorithme de seuil, géométrie dans l'espace et volume d'un tétraèdre, nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = kx$ , QCM de probabilités · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la suite $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 60$ avec $u_0 = 400$ : il démontre par récurrence l'encadrement $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$ , en déduit la convergence et la limite, fait donner la valeur renvoyée par une fonction Python de seuil, puis applique ces résultats au nombre d'arbres d'un verger limité à 500 places. Le deuxième, dans un cube, calcule le produit scalaire $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}$ et l'aire du triangle $MNP$ , établit l'équation $5x - 8y + 4z = 0$ du plan $(MNP)$ , le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur ce plan et le volume du tétraèdre $FMNP$ . Le troisième conjecture graphiquement puis détermine, selon la valeur de $k > 0$ , le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = kx$ en étudiant $f(x) = \ln(x) - x$ puis $g(x) = \ln(x) - kx$ . Le quatrième est un QCM sur le tirage d'une bille dans une urne : probabilité d'une réunion, probabilités conditionnelles et loi d'un gain algébrique.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 60$ : récurrence, convergence et seuil en Python p. 1

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 60$ , raisonnement par récurrence, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$ , suite croissante majorée, algorithme de seuil, verger

Exercice 2 — Cube : plan $(MNP)$ , projeté orthogonal et volume du tétraèdre $FMNP$ p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — produit scalaire, triangle rectangle, $\vec{n}(5 ; -8 ; 4)$ , $5x - 8y + 4z = 0$ , projeté orthogonal sur un plan, $FL = \frac{3\sqrt{105}}{35}$ , volume d'un tétraèdre

Exercice 3 — Nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = kx$ selon le paramètre $k$ p. 2–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité — $\ln(x) = kx$ , conjecture graphique, $f(x) = \ln(x) - x$ , $g(x) = \ln(x) - kx$ , tableau de variations, maximum, discussion selon un paramètre

Exercice 4 — QCM de probabilités : tirage dans une urne, probabilités conditionnelles et gain algébrique p. 4–5

Espaces probabilisés · Conditionnement et indépendance · Variables aléatoires et lois usuelles — QCM, urne, probabilité d'une réunion, probabilité conditionnelle, gain algébrique, $P_R(G = 0)$ , $P_{(G = -4)}(V)$

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle