AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2024 — Jour 2, 11 juin 2024

Fonction $x^2 - x\ln(x)$ et suite récurrente, probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique avec Python, vrai-faux (suites, convexité, dénombrement, équation différentielle), projeté orthogonal d'un triangle sur un plan · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = x^2 - x\ln(x)$ à l'aide de sa dérivée seconde, résout $f(x) = x$ grâce à la fonction auxiliaire $g(x) = x - \ln(x)$ , puis montre par récurrence que la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ est croissante et majorée et détermine sa limite. Le deuxième modélise les victoires d'une joueuse par un arbre pondéré, établit $g_{n+1} = 0{,}5g_n + 0{,}2$ , étudie cette suite arithmético-géométrique et complète un algorithme de seuil en Python. Le troisième est un vrai-faux portant sur un encadrement de suite, la convexité lue sur la courbe de $h'$ , un dénombrement de codes et l'équation différentielle $xy' - y = x$ . Le quatrième calcule l'aire d'un triangle $ABC$ et celle de son projeté orthogonal $ABC'$ sur un plan, puis les relie par le cosinus d'un angle.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $x^2 - x\ln(x)$ : dérivée seconde, équation $f(x) = x$ et suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Suites numériques · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x^2 - x\ln(x)$ , $f''(x) = \frac{2x - 1}{x}$ , fonction auxiliaire $g(x) = x - \ln(x)$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, limite $\ell$ vérifiant $f(\ell) = \ell$

Exercice 2 — Jeu vidéo : arbre pondéré, suite arithmético-géométrique et algorithme de seuil en Python p. 2–3

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes · Informatique et algorithmique — arbre pondéré, probabilités totales, $g_{n+1} = 0{,}5g_n + 0{,}2$ , suite géométrique $v_n = g_n - 0{,}4$ , limite et interprétation, boucle while en Python, algorithme de seuil

Exercice 3 — Vrai-faux : suite encadrée, convexité lue sur $h'$ , dénombrement de codes et équation différentielle p. 3–4

Suites numériques · Fonctions convexes · Dénombrement et combinatoire · Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, suite encadrée, courbe de la dérivée $h'$ , codes à chiffres et lettres distinctes, au moins un 0, $xy' - y = x$ , $f(x) = x\ln x$

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace : projeté orthogonal d'un triangle sur un plan et rapport des aires p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace · Fonctions trigonométriques — plan $2x + 2y - 3z + 1 = 0$ , projeté orthogonal sur un plan, représentation paramétrique d'une droite, projeté orthogonal sur une droite, norme de $\overrightarrow{HC}$ , aire d'un triangle, $\cos(\alpha)$ avec $\alpha = \widehat{CHC'}$

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Limite d'une fonction en un point Indépendance d'événements et de tribus Théorème de définition par récurrence Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Espaces vectoriels et sous-espaces Fonctions trigonométriques