AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2024 — Jour 1, 5 juin 2024

Contrôle antidopage : fonction homographique et valeur prédictive positive, fonction $2x\mathrm{e}^{-x}$ et suite récurrente convergeant vers $\ln(2)$ , équation différentielle $y' = y - \cos(x) - 3\sin(x)$ , hauteurs d'un tétraèdre · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la fonction $f(x) = \frac{0{,}96x}{0{,}93x + 0{,}03}$ , puis l'utilise pour exprimer la valeur prédictive positive d'un test antidopage en fonction de la proportion $x$ de sportifs dopés, à l'aide d'un arbre pondéré et de la formule de Bayes. Le deuxième étudie $f(x) = 2x\mathrm{e}^{-x}$ sur $[0, 1]$ , montre par récurrence que la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ est croissante et bornée, établit qu'elle converge vers $\ln(2)$ et complète un script Python de seuil. Le troisième résout l'équation $y' = y - \cos(x) - 3\sin(x)$ à l'aide d'une solution particulière, détermine la solution nulle en 0 et calcule une intégrale. Le quatrième établit une équation du plan $(ABC)$ , montre que deux hauteurs du tétraèdre $ABCD$ sont sécantes et calcule la distance de $D$ au plan $(ABC)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Contrôle antidopage : fonction homographique, arbre pondéré et valeur prédictive positive p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Dérivabilité · Probabilités totales et formule de Bayes — $f(x) = \frac{0{,}96x}{0{,}93x + 0{,}03}$ , sens de variation, arbre pondéré, $P(T) = 0{,}93x + 0{,}03$ , $P_T(D) = f(x)$ , valeur prédictive positive, inéquation

Exercice 2 — Fonction $2x\mathrm{e}^{-x}$ , suite récurrente convergeant vers $\ln(2)$ et script Python de seuil p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Suites numériques · Informatique et algorithmique — $f(x) = 2x\mathrm{e}^{-x}$ , équation $f(x) = x$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, limite $\ln(2)$ , boucle while en Python

Exercice 3 — Équation différentielle $y' = y - \cos(x) - 3\sin(x)$ : solution particulière, solutions générales et intégrale p. 3

Équations différentielles linéaires · Intégrale sur un segment · Fonctions trigonométriques · Fonctions exponentielle et logarithme — $y' = y$ , $y' = y - \cos(x) - 3\sin(x)$ , solution particulière $h(x) = 2\cos(x) + \sin(x)$ , condition initiale, $\int_0^{\pi/2} \left[-2\mathrm{e}^x + \sin(x) + 2\cos(x)\right]\mathrm{d}x$

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace : plan $(ABC)$ , hauteurs du tétraèdre $ABCD$ et distance à un plan p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — points non alignés, vecteur normal, équation cartésienne $x + 3y + 5z - 8 = 0$ , points non coplanaires, hauteur d'un tétraèdre, droites sécantes, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Dérivabilité Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Fonctions trigonométriques Espaces vectoriels et sous-espaces