AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2021 — Jour 1 (remplacement), 13 septembre 2021

QCM (lecture graphique, convexité, suites), suite homographique et programme Python, étude d'une population de crapauds et probabilités conditionnelles, plan coupant un cube ou fonction logarithme et tangentes perpendiculaires · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur la courbe de $f(x) = (ax + b)\mathrm{e}^x$ (tangente, coefficients, convexité) et sur la comparaison de deux suites. Le deuxième étudie $u_{n+1} = \frac{4u_n}{1 + 3u_n}$ : encadrement par récurrence, convergence, seuil en Python, puis expression explicite par la suite géométrique $v_n = \frac{u_n}{1 - u_n}$ . Le troisième étudie la fonction $f(t) = \left(0{,}04t^2 - 8t + 400\right)\mathrm{e}^{\frac{t}{50}} + 40$ qui modélise une population de crapauds, puis calcule des probabilités conditionnelles sur la contamination de têtards. Au choix, l'exercice A détermine dans un cube l'équation du plan $(IJK)$ , son intersection avec la droite $(BC)$ et avec la face $BCGF$ , puis la coplanarité de quatre points, et l'exercice B étudie $h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x}$ puis cherche les valeurs de $a$ pour lesquelles les tangentes aux courbes de $x\ln(x) - x$ et de $\ln(x)$ sont perpendiculaires.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : lecture graphique de $(ax + b)\mathrm{e}^x$ , tangente, convexité et comparaison de suites p. 1–2

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Suites numériques — QCM, lecture graphique, tangente, $f(x) = (ax + b)\mathrm{e}^x$ , $f''(x) = (10x + 25)\mathrm{e}^x$ , convexité, comparaison de suites

Exercice 2 — Suite $u_{n+1} = \frac{4u_n}{1 + 3u_n}$ : récurrence, limite, seuil en Python et suite géométrique auxiliaire p. 2–3

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $f(x) = \frac{4x}{1 + 3x}$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, fonction Python de seuil, $v_n = \frac{u_n}{1 - u_n}$ , $u_n = \frac{1}{1 + 0{,}25^n}$

Exercice 3 — Population de crapauds : étude d'une fonction exponentielle, puis arbre pondéré et probabilité conditionnelle p. 3–4

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Conditionnement et indépendance · Continuité · Probabilités totales et formule de Bayes — $f(t) = \left(0{,}04t^2 - 8t + 400\right)\mathrm{e}^{\frac{t}{50}} + 40$ , $f'(t) = t(t - 100)\mathrm{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}$ , minimum, tableau de variations, arbre pondéré, probabilités totales

Exercice A — Au choix du candidat — Cube : plan $(IJK)$ , vecteur normal, intersection avec la droite $(BC)$ et avec la face $BCGF$ p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, $\overrightarrow{AG}$ normal au plan $(IJK)$ , $4x + 4y + 4z - 5 = 0$ , représentation paramétrique, intersection d'un plan et d'une face du cube, points coplanaires

Exercice B — Au choix du candidat — Fonction $1 + \frac{\ln(x)}{x}$ et tangentes perpendiculaires p. 5–6

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x}$ , tableau de variations, théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = x\ln(x) - x$ , tangente, droites perpendiculaires : $mm' = -1$

Dans l'édifice

Dérivabilité Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Indépendance d'événements et de tribus Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces vectoriels et sous-espaces Limite d'une fonction en un point

Bac Métropole Terminale 2021 — Jour 1 (remplacement), 13 septembre 2021

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : lecture graphique de (ax+b)ex(ax + b)\mathrm{e}^x, tangente, convexité et comparaison de suites p. 1–2

Exercice 2 — Suite un+1=4un1+3unu_{n+1} = \frac{4u_n}{1 + 3u_n} : récurrence, limite, seuil en Python et suite géométrique auxiliaire p. 2–3