AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2023 — Jour 2, 29 août 2023

Cube et plan $(CFK)$ , fonction $x\mathrm{e}^{-x}$ et tangentes, suite homographique et suite arithmétique auxiliaire, QCM de probabilités · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice, dans le cube $ABCDEFGH$ , calcule l'aire du triangle $FGC$ et le volume du tétraèdre $FGCK$ , établit l'équation $x + 2y + z - 3 = 0$ du plan $(CFK)$ , détermine le projeté $L$ de $G$ sur ce plan et en déduit l'aire du triangle $CFK$ . Le deuxième exercice étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ sur $\left[0, +\infty\right[$ (asymptote, variations, nombre de solutions d'une équation, convexité) puis l'ordonnée à l'origine $g(a) = a^2\mathrm{e}^{-a}$ de la tangente en $a$ , maximale au point d'inflexion. Le troisième exercice étudie $u_{n+1} = \frac{-u_n - 4}{u_n + 3}$ : programme Python, monotonie et minoration par récurrence, convergence, puis suite arithmétique $v_n = \frac{1}{u_n + 2}$ donnant la forme explicite et la limite. Le quatrième exercice est un QCM de probabilités : probabilités conditionnelles et réunion lues dans un tableau croisé, événements indépendants et probabilité d'obtenir au moins une fois FACE en $n$ lancers.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Cube : volume d'un tétraèdre, vecteur normal au plan $(CFK)$ , projeté orthogonal et aire p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , volume d'un tétraèdre, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, aire d'un triangle

Exercice 2 — Fonction $x\mathrm{e}^{-x}$ : variations, convexité et ordonnée à l'origine des tangentes p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ , asymptote horizontale, valeurs intermédiaires, point d'inflexion, équation de la tangente, $g(a) = a^2\mathrm{e}^{-a}$ , maximum

Exercice 3 — Suite homographique $u_{n+1} = \frac{-u_n - 4}{u_n + 3}$ : récurrence, convergence et suite arithmétique auxiliaire p. 3–4

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique · Dérivabilité — suite homographique, raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, suite arithmétique auxiliaire, $v_n = \frac{1}{u_n + 2}$ , programme Python

Exercice 4 — QCM de probabilités : tableau croisé, réunion d'événements et indépendance p. 4–5

Conditionnement et indépendance · Espaces probabilisés — tableau croisé, probabilité conditionnelle, réunion d'événements, événements indépendants, probabilité d'au moins un succès, lancers indépendants

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Indépendance d'événements et de tribus Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles