AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2021 — Jour 2, 2 juin 2021

Suite arithmético-géométrique, test de dépistage et loi binomiale, géométrie dans le cube, équation différentielle et convexité ou fonction logarithme et optimisation · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la suite $u_{n+1} = 0{,}95u_n + 200$ par récurrence et par une suite géométrique auxiliaire, puis s'en sert pour discuter l'évolution d'une population animale. Le deuxième traite un test de dépistage par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle, puis une loi binomiale et la recherche d'un nombre minimal de personnes à tester. Le troisième, dans un cube muni d'un repère, établit une équation du plan $(EGD)$ , la droite orthogonale passant par un point $M$ de la diagonale $[BH]$ et le volume de la pyramide $GEDM$ . Au choix, l'exercice A lit une courbe, résout l'équation différentielle $y' = -y + \mathrm{e}^{-x}$ et étudie variations et convexité de $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ , et l'exercice B étudie une fonction auxiliaire logarithmique pour maximiser un bénéfice.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite arithmético-géométrique, récurrence et suite géométrique auxiliaire p. 1

Suites arithmétiques et géométriques — $u_{n+1} = 0{,}95u_n + 200$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, $v_n = u_n - 4\,000$ , limite d'une suite géométrique, évolution d'une population

Exercice 2 — Test de dépistage : arbre pondéré, probabilité conditionnelle et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, test de dépistage, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}065\,3)$ , probabilité d'au moins un succès, nombre minimal d'épreuves

Exercice 3 — Cube : plan $(EGD)$ , droite orthogonale, projeté orthogonal et volume de pyramide p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, triangle équilatéral, vecteur normal, $-x + y + z - 1 = 0$ , représentation paramétrique, pied de la hauteur, volume de la pyramide $GEDM$

Exercice 4, au choix : exercice A — Équation différentielle $y' = -y + \mathrm{e}^{-x}$ , variations et convexité p. 4–5

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme — lecture graphique, tangente, $y' = -y + \mathrm{e}^{-x}$ , solution particulière, $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ , dérivée seconde, fonction convexe

Exercice 4, au choix : exercice B — Fonction logarithme, théorème des valeurs intermédiaires et bénéfice maximal p. 5–6

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Extrema et optimisation — $f(x) = -30x + 50 + 35\ln x$ , théorème des valeurs intermédiaires, tableau de signes, $B(x) = -15x^2 + 15x + 35x\ln x$ , bénéfice maximal, fonction auxiliaire

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces vectoriels et sous-espaces Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Applications différentiables