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CAPES externe 2015 — Écrit disciplinaire

Inégalité triangulaire et point de Fermat ; suites monotones et convergence au sens de Cesàro · 7 pages

Le premier problème généralise l'inégalité triangulaire dans $\mathbb{C}$ et son cas d'égalité, l'applique à la minimisation de la somme des distances $MA_1 + \dots + MA_n$ lorsque $\sum z_k/|z_k| = 0$ (minimum atteint uniquement en $O$ ), puis en déduit que le point de concours des droites $(AA')$ , $(BB')$ , $(CC')$ construites à partir de triangles équilatéraux extérieurs minimise $MA + MB + MC$ (point de Fermat). Le second problème traite des suites monotones et de la série harmonique (équivalent $\ln n$ , constante d'Euler), puis de la convergence au sens de Cesàro : lemme de Cesàro, équivalent d'une suite récurrente, contre-exemples $(-1)^n$ et $\sin(na)$ , et théorème taubérien pour une suite croissante.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, partie A — Inégalité triangulaire et cas d'égalité p. 2

Nombres complexes · Inégalités classiques — inégalité triangulaire, cas d'égalité, module, argument, partie réelle

Problème 1, parties B et C — Minimisation d'une somme de distances et point de Fermat p. 2–3

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne · Extrema et optimisation · Inégalités classiques — point de Fermat, point de Torricelli, triangles équilatéraux, rotation, somme des distances, plan complexe

Problème 2, partie A — Suites monotones et série harmonique p. 4

Suites numériques · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Enseignement et didactique — théorème de la limite monotone, série harmonique, constante d'Euler, équivalent de $\ln n$ , questions de cours

Problème 2, parties B et C — Convergence au sens de Cesàro p. 5–6

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Suites numériques · Équivalents et comparaison · Nombres complexes — lemme de Cesàro, moyenne de Cesàro, suite récurrente, équivalent, suite $\sin(na)$ , théorème taubérien, suite croissante

Dans l'édifice

Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espaces vectoriels et sous-espaces Applications différentiables Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Intégrale de Riemann Principe de récurrence Sommation d'Abel et intégrales impropres