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CAPES externe 2024 — Écrit disciplinaire appliqué

La notion de produit dans l'enseignement des mathématiques (dossier didactique) · 18 pages

Le dossier, consacré à la notion de produit, alterne questions mathématiques et analyse didactique sur des annexes : distracteurs d'un QCM de calcul littéral, règle des signes (« moins par moins » chez Stendhal), construction géométrique du produit chez Descartes, algorithme de multiplication de Karatsuba, agrandissement de figures au cycle 3, comparaison d'un nombre et de son carré. Il demande ensuite de rédiger des démonstrations de cours sur le produit scalaire et les formules d'addition, la formule de Moivre, des exercices sur les nombres complexes et d'arithmétique modulaire, puis de comparer les produits rencontrés dans différents ensembles.

Le sujet, partie par partie

Concevoir des situations d'enseignement — Produit de nombres réels p. 5

Enseignement et didactique · Géométrie affine et euclidienne · Polynômes — distracteurs d'un QCM, règle des signes, commutativité et distributivité, construction de Descartes, théorème de Thalès, cycle 4

Approfondir une procédure automatisée — Multiplication de Karatsuba p. 5–6

Informatique et algorithmique · Enseignement et didactique · Arithmétique des entiers — algorithme de Karatsuba, multiplication des grands entiers, nombre de multiplications intermédiaires, production d'élève, coup de pouce

Rectifier des représentations — Agrandissement d'une figure p. 6

Enseignement et didactique · Géométrie affine et euclidienne — agrandissement, proportionnalité, conception erronée, travail de groupe, cycle 3

Analyser des productions d'élèves — Raisonnement p. 6–7

Enseignement et didactique · Géométrie affine et euclidienne · Polynômes — carrés et aires, équation du second degré, comparer un nombre et son carré, conjecture, compétences mathématiques, projeté orthogonal

Préparer une séquence d'enseignement — Produit scalaire et formules trigonométriques p. 7

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Nombres complexes · Enseignement et didactique · Géométrie affine et euclidienne — produit scalaire, projeté orthogonal, formules d'addition $\cos(a + b)$ , formule de Moivre, raisonnement par récurrence, mathématiques expertes

Nombres complexes, arithmétique et produits sur différents ensembles p. 8

Congruences et Z/nZ · Nombres complexes · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Enseignement et didactique · Calcul matriciel — forme algébrique et forme exponentielle, congruences modulo 8, compatibilité des congruences avec le produit, indicatrice d'Euler, produit non commutatif, produit de matrices

Dans l'édifice

Principe de récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes Théorème de définition par récurrence Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire