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CCINP MP 2018 — Maths 1

Estimations numériques d'intégrales · 8 pages

Le sujet approche l'intégrale $\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ d'abord par une série alternée issue d'une série entière, puis comme limite de $\int (1 - x^2/n)^n$ par convergence dominée. Il étudie ensuite le polynôme interpolateur de Lagrange, l'expression de l'erreur d'interpolation via le théorème de Rolle et le phénomène de Runge, construit les polynômes de Legendre par Gram-Schmidt et montre qu'ils ont $n$ racines simples dans $[-1, 1]$ . Il en déduit les méthodes de quadrature de Newton-Cotes (trapèzes) et la quadrature de Gauss, exacte sur $\mathbb{R}_{2n+1}[X]$ et à poids strictement positifs ; des questions d'informatique en Python jalonnent le sujet.

Le sujet, partie par partie

Partie I — « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss p. 2–3

Séries entières · Séries alternées · Convergence dominée · Informatique et algorithmique · Interversion des limites — intégrale de Gauss, majoration du reste, critère des séries alternées, limite simple, convergence dominée, fonction récursive

Partie II — Notion de polynôme interpolateur p. 3–5

Interpolation polynomiale · Dérivabilité · Matrices remarquables · Informatique et algorithmique · Séries entières — polynôme interpolateur de Lagrange, erreur d'interpolation, théorème de Rolle généralisé, phénomène de Runge, matrice de Vandermonde, pivot de Gauss

Partie III — Famille de polynômes orthogonaux p. 5

Polynômes de Legendre · Procédé de Gram-Schmidt · Racines et relations coefficients-racines — procédé de Gram-Schmidt, polynômes de Legendre, racines simples, multiplicité impaire, orthogonalité à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$

Partie IV — Méthodes de quadrature p. 6–7

Quadrature numérique · Polynômes de Legendre · Interpolation polynomiale — méthode des trapèzes, quadrature de Gauss, ordre d'une méthode de quadrature, poids de quadrature, division euclidienne, relation de Chasles

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ Théorème de convergence dominée Théorème de définition par récurrence Anneaux de polynômes Dérivabilité Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème du point fixe de Banach