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CCINP MP 2025 — Maths 1

Autour du théorème de comparaison avec une intégrale · 8 pages

Deux exercices courts ouvrent le sujet : l'image de la dérivée d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ à valeurs dans le plan est connexe par arcs, ce qui n'est plus vrai pour une fonction seulement dérivable, puis un même minimum est calculé par la hessienne et par une projection orthogonale. Le problème démontre le théorème de comparaison série-intégrale pour une fonction positive décroissante, l'applique aux séries de Bertrand, à la constante d'Euler et à une série de fonctions, puis construit deux contre-exemples lorsque la monotonie fait défaut.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Image de la dérivée et connexité par arcs p. 2

Connexité · Dérivabilité · Courbes et surfaces — connexité par arcs, théorème de Darboux, fonction dérivable non $\mathcal{C}^1$ , image de la dérivée

Exercice II — Un minimum par deux méthodes p. 2

Points critiques et hessienne · Projection orthogonale et moindres carrés · Extrema et optimisation — point critique, matrice hessienne, projection orthogonale, moindres carrés, distance à un sous-espace

Problème, Partie I — Théorème de comparaison avec une intégrale p. 3–4

Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Convergence uniforme et normale — comparaison série intégrale, séries de Bertrand, constante d'Euler, série harmonique, convergence normale, convergence uniforme

Problème, Partie II — Contre-exemples p. 4–5

Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité — comparaison série intégrale, contre-exemple, fonction $\sin(2\pi x)$ , fonction intégrable ne tendant pas vers $0$ , fonctions en triangles

Dans l'édifice

Caractérisations de la connexité Dérivabilité Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Applications différentiables Espaces de Hilbert et théorème de projection Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes