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CCINP PSI 2016 — Mathématiques

Puissances d'une matrice stochastique · 8 pages

Le sujet étudie la suite des puissances d'une matrice stochastique. Il traite d'abord le cas $2\times 2$ par diagonalisation, avec une application à la transmission d'un message binaire à travers une chaîne de relais bruités, puis montre que le rayon spectral d'une matrice stochastique vaut $1$ et, grâce aux disques de Gershgorin et aux matrices à diagonale strictement dominante, que, pour une matrice strictement stochastique, le sous-espace propre associé à $1$ est une droite et $1$ est la seule valeur propre de module $1$ . Il calcule ensuite la probabilité invariante d'une marche sur quatre points et conclut en prouvant, par encadrement des minima et maxima de colonnes, que les puissances d'une matrice strictement stochastique convergent vers une matrice stochastique à lignes identiques.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Cas $n = 2$ (puissances et transmission d'un message binaire) p. 2–4

Matrices stochastiques et bistochastiques · Diagonalisation · Chaînes de Markov · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes — puissances d'une matrice, matrice $2\times 2$ stochastique, canal binaire, probabilité d'erreur, taille critique du réseau, relais indépendants

Partie II — Spectre des matrices stochastiques p. 4–5

Matrices stochastiques et bistochastiques · Localisation des valeurs propres · Rayon spectral · Réduction des endomorphismes · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Applications linéaires et rang — disques de Gershgorin, matrice à diagonale strictement dominante, matrice strictement stochastique, norme infinie, sous-espace propre de dimension 1, rang de $A - I$

Partie III — Probabilité invariante (particule sur quatre points) p. 5–6

Chaînes de Markov · Diagonalisation · Théorème spectral · Matrices stochastiques et bistochastiques — probabilité invariante, loi stationnaire, matrice de transition, matrice symétrique réelle, vitesse de convergence géométrique

Partie IV — Puissances d'une matrice strictement stochastique p. 6–7

Matrices stochastiques et bistochastiques · Suites numériques · Chaînes de Markov — suites adjacentes, minimum et maximum des colonnes, contraction en $1 - 2m$ , convergence des puissances, lignes identiques

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Indépendance d'événements et de tribus Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Applications linéaires Théorème du rang Espaces de Hilbert et théorème de projection Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ