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Centrale-Supélec PC 2016 — Maths 2

Opérateur de différence, surjections et polynômes à valeurs entières · 4 pages

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Le sujet étudie sur $\mathbb{R}_n[X]$ l'opérateur de translation $P(X) \mapsto P(X + 1)$ , dont la matrice est formée de coefficients binomiaux, et en tire la formule d'inversion de Pascal, puis l'opérateur de différence $\delta$ : noyaux et images de ses puissances, absence de racine carrée, sous-espaces stables. Il en déduit le nombre de surjections d'un ensemble à $p$ éléments sur un ensemble à $n$ éléments, introduit la base des polynômes binomiaux $H_k = X(X-1)\cdots(X-k+1)/k!$ pour résoudre une récurrence et caractériser les polynômes à valeurs entières sur les entiers, et montre enfin, grâce à une formule de différences finies d'ordre $n$ , qu'un réel $\alpha$ tel que $p^\alpha$ soit entier pour tout nombre premier $p$ est un entier naturel.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — L'opérateur de translation et l'opérateur de différence p. 1–2

Applications linéaires et rang · Coefficients binomiaux · Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Calcul matriciel · Réduction des endomorphismes · Polynômes — opérateur de translation, opérateur de différence, formule d'inversion de Pascal, matrice triangulaire de coefficients binomiaux, racine carrée d'un endomorphisme, noyau des puissances

Partie II — Applications en combinatoire p. 2

Dénombrement de configurations · Coefficients binomiaux · Partitions et nombres combinatoires — nombre de surjections, formule d'inversion, nombres de Stirling de seconde espèce, nombre d'applications

Partie III — Étude d'une famille de polynômes (polynômes binomiaux) p. 3

Polynômes · Espaces vectoriels et dimension · Suites récurrentes linéaires · Nilpotents, Jordan, Dunford · Arithmétique des entiers · Calcul matriciel — polynômes binomiaux, polynômes à valeurs entières, formule de Newton discrète, matrice de Jordan, récurrence linéaire avec second membre polynomial, coordonnées dans une base

Partie IV — Généralisation de l'opérateur de différence et application p. 3–4

Dérivabilité · Nombres premiers · Coefficients binomiaux · Arithmétique des entiers — différences finies d'ordre $n$ , accroissements finis, fonction $x$ puissance $\alpha$ , exposant entier, $p^\alpha$ entier pour tout $p$ premier

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Ensembles finis et principe des tiroirs Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Suites réelles et limites Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Dérivabilité