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e3a-Polytech MP 2016 — Maths 2

Fonction Gamma et théorème de Bohr-Mollerup · 5 pages

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Le sujet définit $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \,\mathrm{d}t$ en scindant l'intégrale en $0$ et en $+\infty$ , montre que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^2$ par dérivation sous le signe intégrale, établit $\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$ , $\Gamma(n) = (n - 1)!$ , la convexité de $\Gamma$ et l'existence d'un unique zéro $\alpha$ de $\Gamma'$ où $\Gamma$ atteint son minimum. Il étudie ensuite les fonctions ln-convexes (une fonction $f > 0$ telle que $x \mapsto e^{cx} f(x)$ est convexe pour tout $c > 0$ est ln-convexe), prouve que $\Gamma$ est ln-convexe, puis démontre que toute fonction $g$ ln-convexe vérifiant $g(x + 1) = xg(x)$ et $g(1) = 1$ est égale à $\Gamma$ , via la limite de $n^x (n - 1)!/(x(x + 1)\cdots(x + n - 1))$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Convexité de l'exponentielle p. 2

Fonctions convexes · Inégalité arithmético-géométrique — fonction convexe, dérivée seconde positive, inégalité de convexité, inégalité de Young pondérée

Parties II et III — Intégrales $F$ et $G$ à paramètre p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta — intégrale à paramètre, dérivation sous le signe intégrale, domination sur un segment, convergence absolue, croissances comparées

Partie IV — La fonction Gamma p. 3

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — fonction Gamma, $\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$ , factorielle, intégration par parties, théorème de Rolle, minimum de Gamma

Partie V — Fonctions ln-convexes p. 3–4

Fonctions convexes · Fonctions Gamma et Bêta · Inégalité arithmético-géométrique — log-convexité, fonction ln-convexe, convexité de $e^{cx} f(x)$ , tableau de variations, Gamma log-convexe

Partie VI — Caractérisation de Gamma p. 4–5

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Suites numériques · Équations fonctionnelles — théorème de Bohr-Mollerup, formule de Gauss, pentes d'une fonction convexe, encadrement, suite monotone

Dans l'édifice

Dérivabilité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Continuité