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e3a-Polytech PSI 2014 — Mathématiques

Polynômes de Tchebychev et quadrature de Gauss-Tchebychev · 5 pages

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Le sujet construit les polynômes de Tchebychev à partir de $c_n(x) = \cos(n \arccos x)$ et de la relation de récurrence, puis montre qu'ils forment une base orthogonale pour le produit scalaire de poids $1/\sqrt{1 - t^2}$ sur $[-1, 1]$ , ce qui permet de calculer le minimum de $\|P\|^2$ parmi les polynômes unitaires de degré $n$ . Il établit enfin la formule de quadrature exacte sur les polynômes de degré au plus $2n - 1$ : l'intégrale de $R(t)/\sqrt{1 - t^2}$ sur $[-1, 1]$ vaut $(\pi/n)$ fois la somme des $R\left(\cos\frac{(2k - 1)\pi}{2n}\right)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Les polynômes de Tchebychev p. 2

Polynômes de Tchebychev · Espaces vectoriels et dimension · Suites récurrentes linéaires — polynômes de Tchebychev, $\cos(n \arccos x)$ , relation de récurrence, coefficient dominant, base de $\mathbb{R}_n[X]$

Partie 2 — Produit scalaire et minimisation p. 2–3

Polynômes de Tchebychev · Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité — produit scalaire à poids, base orthogonale, polynôme unitaire de norme minimale, intégrale impropre, distance à un sous-espace

Partie 3 — Formule de quadrature de Gauss-Tchebychev p. 3–4

Quadrature numérique · Interpolation polynomiale · Polynômes de Tchebychev · Racines et relations coefficients-racines · Suites récurrentes linéaires — racines des polynômes de Tchebychev, polynômes d'interpolation de Lagrange, méthode de Gauss, division euclidienne, formule de quadrature exacte, poids de quadrature

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème du point fixe de Banach