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Mines-Ponts MP 2020 — Maths 1

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents · 6 pages

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Le sujet démontre le théorème de Gerstenhaber (1958) : un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ formé d'endomorphismes nilpotents, avec $\dim E = n$ , est de dimension au plus $n(n-1)/2$ , et s'il atteint cette dimension il existe une base dans laquelle tous ses éléments sont triangulaires supérieurs stricts. La preuve passe par des généralités sur le nilindice, la représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien sous la forme $z \mapsto (a|z)x$ , une identité de traces $\operatorname{tr}(u^k v) = 0$ et une récurrence sur la dimension utilisant une projection orthogonale.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités sur les endomorphismes nilpotents p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — endomorphisme nilpotent, nilindice, matrices triangulaires supérieures strictes, trace des puissances, famille libre de Jordan, $\operatorname{Im} u \cap \operatorname{Ker} u$

Partie II — Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien p. 3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang · Dualité — endomorphisme de rang 1, représentation de Riesz, trace d'un endomorphisme de rang 1, espace euclidien

Partie III — Deux lemmes (identité de traces et vecteur propre commun) p. 3–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Polynômes — sous-espace nilpotent, nilindice générique, trace de $u^k v$ , développement de $(u + tv)^k$ , vecteur propre commun

Partie IV — Démonstration du théorème de Gerstenhaber p. 4–6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Projection orthogonale et moindres carrés · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension — théorème de Gerstenhaber, récurrence sur la dimension, projection orthogonale, endomorphisme induit sur un hyperplan, trigonalisation simultanée, formule de dimension

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Espace dual Anneaux de polynômes