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Mines-Ponts PC 2020 — Maths 1

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents · 6 pages

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Le sujet démontre le théorème de Gerstenhaber (1958) : un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ formé d'endomorphismes nilpotents et de dimension maximale $n(n - 1)/2$ est, dans une base convenable, formé de matrices triangulaires supérieures strictes. Il réunit des généralités sur le nilindice, la représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien par $a \otimes x$ , un lemme sur les traces $\operatorname{tr}(u^k v) = 0$ et un critère de vecteur propre commun, puis conclut par récurrence sur la dimension en projetant orthogonalement sur un hyperplan.

Le sujet, partie par partie

Introduction et Partie I — Généralités sur les endomorphismes nilpotents p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Espaces vectoriels et dimension · Calcul matriciel — endomorphisme nilpotent, nilindice, matrice triangulaire supérieure stricte, trace des puissances, famille libre de Jordan, $\operatorname{Im} u \cap \operatorname{Ker} u$

Partie II — Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien p. 3–4

Dualité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang · Calcul matriciel — théorème de représentation de Riesz, forme linéaire, endomorphisme de rang 1, trace, isomorphisme

Partie III — Deux lemmes p. 4–5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Polynômes d'endomorphismes · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes — sous-espace nilpotent, nilindice générique, développement de $(u + tv)^k$ , trace nulle, vecteur propre commun, orthogonal

Partie IV — Démonstration du théorème B p. 5–6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces vectoriels et dimension · Projection orthogonale et moindres carrés · Trigonalisation · Applications linéaires et rang · Dualité — théorème de Gerstenhaber, récurrence sur la dimension, théorème du rang, endomorphisme compressé, trigonalisation simultanée, matrice triangulaire supérieure stricte

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espace dual Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes