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Mines-Ponts PSI 2013 — Maths 2

La formule du triple produit de Jacobi · 5 pages

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Le sujet établit la convergence de produits infinis $Q(x)$ et $H(x, z)$ , puis montre que $F(x, z) = H(x, z)H(x, 1/z)$ se développe en série de Laurent en $z$ dont les coefficients vérifient une relation de récurrence ; un argument de passage de $x$ à $x^4$ conduit à la formule du triple produit de Jacobi. On en déduit la formule des nombres pentagonaux d'Euler, puis une relation de récurrence permettant de calculer les nombres de partitions $p(n)$ pour $n$ de $1$ à $7$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie 2 — La formule de Jacobi p. 2–4

Produits infinis · Séries entières · Nombres complexes · Séries numériques — triple produit de Jacobi, produit infini, série de Laurent, unicité des coefficients, logarithme complexe, argument

Partie 3 — Le nombre de partitions d'un entier p. 4–5

Partitions et nombres combinatoires · Fonctions génératrices · Produits infinis · Dénombrement et combinatoire — nombres pentagonaux d'Euler, nombre de partitions, diagrammes de Ferrers, série génératrice des partitions, bijection

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle La demi-droite achevée et les sommes positives Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Sommes, produits et puissances