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Mines-Ponts PSI 2020 — Maths 1

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents · 6 pages

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Version PSI du sujet MP de la même session : en admettant qu'un sous-espace de $\mathcal{L}(E)$ formé d'endomorphismes nilpotents est de dimension au plus $n(n-1)/2$ , le sujet démontre le cas d'égalité du théorème de Gerstenhaber (1958) : un tel sous-espace de dimension $n(n-1)/2$ est, dans une base convenable, formé de matrices triangulaires supérieures strictes. Il établit pour cela des généralités sur le nilindice, l'isomorphisme $a \mapsto (a \mid \cdot)$ entre $E$ et son dual, la représentation des endomorphismes de rang 1, une identité de traces $\operatorname{tr}(u^k v) = 0$ et une récurrence sur la dimension par projection orthogonale.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités sur les endomorphismes nilpotents p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — endomorphisme nilpotent, nilindice, matrice triangulaire supérieure stricte, trace des puissances, famille libre, $\operatorname{Im} u \cap \operatorname{Ker} u$

Partie II — Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien p. 3–4

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Dualité · Applications linéaires et rang — isomorphisme avec le dual, forme linéaire, endomorphisme de rang 1, trace d'un endomorphisme de rang 1

Partie III — Deux lemmes (identité de traces et vecteur propre commun) p. 4–5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Polynômes — sous-espace nilpotent, nilindice générique, trace de $u^k v$ , développement de $(u + tv)^k$ , identification des coefficients d'un polynôme

Partie IV — Démonstration du théorème B (Gerstenhaber) p. 5–6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Projection orthogonale et moindres carrés · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension — théorème de Gerstenhaber, récurrence sur la dimension, projection orthogonale, endomorphisme induit sur un hyperplan, trigonalisation simultanée, formule de dimension

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espace dual Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes