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X-ENS MP 2017 — Maths A

Formes symplectiques et structures complexes domptées · 5 pages

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Le sujet étudie les formes bilinéaires antisymétriques non dégénérées (formes symplectiques) sur un espace réel de dimension finie : existence d'une base symplectique où la matrice vaut $J_n$ , orthogonal symplectique et dimension. Après deux outils sur les polynômes (application $(V, W) \mapsto VP + WQ$ de type résultant, densité du non-lieu d'annulation d'une fonction polynomiale), il réduit simultanément deux formes symplectiques $\omega$ et $\omega_1$ via l'automorphisme $u$ tel que $\omega_1(x, y) = \omega(u(x), y)$ , en dimension 4 puis par le lemme des noyaux, et relie l'existence d'une structure complexe domptée par $\omega$ et $\omega_1$ au fait que le segment $[\omega, \omega_1]$ ne contienne que des formes symplectiques.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Bases symplectiques p. 1–3

Groupe symplectique · Formes bilinéaires et quadratiques · Dualité · Matrices par blocs · Espaces vectoriels et dimension — forme bilinéaire antisymétrique, forme symplectique, base symplectique, matrice antisymétrique, orthogonal symplectique, structure complexe, dimension paire

Partie II — Deux outils sur les polynômes p. 3–4

Résultant et discriminant · PGCD, Bézout, Gauss · Densité · Racines et relations coefficients-racines · Polynômes — polynômes premiers entre eux, matrice de Sylvester, discriminant, racines simples, fonction polynomiale, partie dense

Partie III — Réduction simultanée p. 4–5

Groupe symplectique · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Matrices par blocs · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Sous-espaces stables — réduction simultanée, lemme des noyaux, polynôme annulateur, valeurs propres complexes conjuguées, matrice de rotation, sous-espaces orthogonaux

Partie IV — Structures complexes domptées simultanément p. 5

Groupe symplectique · Densité · Résultant et discriminant · Racines et relations coefficients-racines — structure complexe, forme symplectique domptant, segment de formes symplectiques, polynôme caractéristique à racines au plus doubles, densité

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Espace dual Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Intérieur, adhérence Applications linéaires