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X-ENS PC 2026 — Maths

Modèles de ferromagnétisme : Ising unidimensionnel et Curie-Weiss · 7 pages

Le sujet étudie l'énergie libre de deux modèles de spins $\pm 1$ . Après des préliminaires sur la convexité de $\lambda \mapsto \ln \mathbb{E}[\exp(\lambda \cdot X)]$ et de ses limites, il traite le modèle d'Ising unidimensionnel par une matrice de transfert $2 \times 2$ , la fonction de partition s'écrivant à l'aide de $\operatorname{tr}(A^N)$ et l'énergie libre limite à l'aide de la plus grande valeur propre. Il établit enfin, pour le modèle de Curie-Weiss, une formule variationnelle via la formule de Stirling et l'équation $x = \operatorname{th}(h + 2\beta x)$ , et met en évidence une transition de phase en $\beta = 1/2$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Convexité p. 2–3

Fonctions convexes · Matrices symétriques positives · Calcul différentiel · Espérance, variance, moments — fonction convexe, hessienne, limite de fonctions convexes, log-Laplace

Deuxième partie — Modèle d'Ising unidimensionnel p. 3–5

Modèles de physique statistique · Diagonalisation · Convergence uniforme et normale · Dérivabilité — modèle d'Ising, matrice de transfert, fonction de partition, plus grande valeur propre, énergie libre, aimantation

Troisième partie — Modèle de Curie-Weiss p. 5–7

Modèles de physique statistique · Formule de Stirling · Extrema et optimisation · Lois de Bernoulli et binomiale · Équivalents et comparaison · Dérivabilité · Fonctions convexes — modèle de Curie-Weiss, transition de phase, fonction de taux, entropie, formule de Stirling, équation de champ moyen

Dans l'édifice

Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Matrices d'une application linéaire Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Intégrale de Riemann Suites réelles et limites