AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2023 — Jour 1, 27 mars 2023

Probabilités conditionnelles et loi binomiale, fonction exponentielle et fonction auxiliaire, QCM de géométrie dans l'espace, suite récurrente et méthode de Héron · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice classe les déchets d'une entreprise à l'aide d'un arbre pondéré, calcule $P(R) = 0{,}6514$ par les probabilités totales et une probabilité conditionnelle inverse, puis étudie le nombre de déchets recyclables dans un échantillon par une loi binomiale et cherche la taille d'échantillon à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet soit recyclable atteint $0{,}9999$ . Le deuxième exercice étudie la fonction $f(x) = \mathrm{e}^{3x} - (2x+1)\mathrm{e}^{x}$ grâce à la fonction auxiliaire $g(x) = 3\mathrm{e}^{2x} - 2x - 3$ , dont il établit le minimum $\ln(3) - 2$ et les deux zéros, puis en déduit les variations de $f$ et explique pourquoi $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$ . Le troisième est un QCM de géométrie dans l'espace (nature du triangle $ABC$ , équation du plan $(BCD)$ , projeté orthogonal, position relative de droites et de plans). Le quatrième étudie la suite $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{11}{u_n}\right)$ , montre par récurrence qu'elle décroît et reste minorée par $\sqrt{11}$ , détermine sa limite, puis la retrouve comme la suite des longueurs de rectangles d'aire 11 dont il interprète géométriquement la convergence, et fait lire et interpréter les valeurs renvoyées par un script Python donné (méthode de Héron).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Recyclage des déchets : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, $P(R) = 0{,}6514$ , probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, $p_n$ , seuil sur la taille de l'échantillon

Exercice 2 — Fonction $f(x) = \mathrm{e}^{3x} - (2x+1)\mathrm{e}^{x}$ : fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires, variations et convexité p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Fonctions convexes — $f(x) = \mathrm{e}^{3x} - (2x+1)\mathrm{e}^{x}$ , $g(x) = 3\mathrm{e}^{2x} - 2x - 3$ , fonction auxiliaire, minimum $\ln(3) - 2$ , théorème des valeurs intermédiaires, $f'(x) = \mathrm{e}^{x}g(x)$ , convexité

Exercice 3 — QCM de géométrie dans l'espace : triangle, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, positions relatives p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, nature d'un triangle, plan $(BCD)$ , $x - 2y - 2z + 15 = 0$ , projeté orthogonal sur un plan, représentation paramétrique, position relative de deux droites, position relative de deux plans

Exercice 4 — Suite $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{11}{u_n}\right)$ : monotonie par récurrence, limite $\sqrt{11}$ et méthode de Héron en Python p. 4–5

Suites numériques · Dérivabilité · Méthode de Newton · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{11}{u_n}\right)$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, limite $\sqrt{11}$ , rectangle d'aire 11, méthode de Héron, script Python

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème du point fixe de Banach Théorème de définition par récurrence