AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2023 — Jour 2, 28 mars 2023

Fonction exponentielle et convexité, suite arithmético-géométrique et algorithme de seuil, géométrie dans l'espace et volume d'un tétraèdre, QCM d'analyse et de probabilités · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice lit sur la courbe de $f'$ les variations et la convexité de $f$ , puis étudie $f(x) = \left(x^2 - 5x + 6\right)\mathrm{e}^{x}$ : limites, dérivée, tangente en 0, convexité à l'aide de $f''(x) = (x+1)(x-2)\mathrm{e}^{x}$ et inégalité $f(x) \leqslant x + 6$ sur $[-1, 2]$ . Le deuxième modélise les effectifs de deux clubs sportifs par la suite $a_{n+1} = 0{,}75a_n + 300$ , établit son encadrement par récurrence, l'exprime à l'aide d'une suite géométrique auxiliaire et complète un programme Python de seuil. Le troisième, dans l'espace, calcule l'aire du triangle $EFG$ à l'aide d'un projeté orthogonal sur une droite, une équation du plan $(EFG)$ , le projeté $K$ de $D$ sur ce plan, puis le volume du tétraèdre $DEFG$ . Le quatrième est un QCM sur une limite comportant un logarithme, une fonction continue dont on connaît trois valeurs, des limites de suites, le gain moyen d'un jeu et une loi binomiale.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Lecture graphique de $f'$ puis étude de $f(x) = \left(x^2 - 5x + 6\right)\mathrm{e}^{x}$ : variations, tangente et convexité p. 1–2

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — lecture graphique de la dérivée, $f(x) = \left(x^2 - 5x + 6\right)\mathrm{e}^{x}$ , $f'(x) = \left(x^2 - 3x + 1\right)\mathrm{e}^{x}$ , tangente, $f''(x) = (x+1)(x-2)\mathrm{e}^{x}$ , convexité, position par rapport à une tangente

Exercice 2 — Suite arithmético-géométrique $a_{n+1} = 0{,}75a_n + 300$ : récurrence, suite géométrique auxiliaire et seuil en Python p. 2–3

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $a_{n+1} = 0{,}75a_n + 300$ , raisonnement par récurrence, suite géométrique auxiliaire, $a_n = 500 \times 0{,}75^n + 1200$ , algorithme de seuil, boucle while, clubs sportifs

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : projeté orthogonal, aire du triangle $EFG$ , plan $(EFG)$ et volume du tétraèdre $DEFG$ p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — projeté orthogonal sur une droite, aire d'un triangle, vecteur normal, plan $(EFG)$ , projeté orthogonal sur un plan, distance d'un point à un plan, volume d'un tétraèdre

Exercice 4 — QCM : limite avec logarithme, fonction continue, limites de suites, gain moyen d'un jeu, loi binomiale p. 3–4

Continuité · Suites numériques · Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Fonctions exponentielle et logarithme — QCM, $f(x) = 0{,}05 - \frac{\ln x}{x - 1}$ , fonction continue sur un intervalle, limite d'une suite, espérance de gain, loi binomiale $\mathcal{B}(3 ; p)$

Dans l'édifice

Dérivabilité Exponentielle et logarithme Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition