AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2025 — Jour 2 (secours), 22 mai 2025

Étude de fonction, convexité et aire, vrai-faux de géométrie dans l'espace, probabilités conditionnelles et loi binomiale, suite récurrente d'ordre 2 · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + 2x - 1$ : limites, convexité à l'aide de $f''(x) = (x-2)\mathrm{e}^{-x}$ , variations de $f'$ puis de $f$ , existence et encadrement de l'unique solution de $f(x) = 0$ , position par rapport à la droite $y = 2x - 1$ , puis aire entre la courbe et cette droite calculée par intégration par parties et sa limite. Le deuxième est un vrai-faux de géométrie dans l'espace sur le parallélisme et l'intersection de droites, l'orthogonalité d'une droite et d'un plan, un projeté orthogonal et le parallélisme d'une droite et d'un plan dépendant d'un paramètre. Le troisième traite la vaccination et la contamination par un arbre pondéré et des probabilités conditionnelles, puis par une loi binomiale sur un échantillon de 20 personnes. Le quatrième étudie la suite $u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n$ grâce à une suite auxiliaire géométrique, établit par récurrence que $u_n = n\left(\frac{1}{2}\right)^n$ , puis montre sa décroissance et sa convergence.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Étude de fonction : limites, convexité, théorème des valeurs intermédiaires, position relative et aire p. 1

Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme — $f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + 2x - 1$ , $f''(x) = (x-2)\mathrm{e}^{-x}$ , théorème des valeurs intermédiaires, position relative, $I_n = \int_1^n x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ , intégration par parties, aire

Exercice 2 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : position relative de deux droites, orthogonalité d'une droite et d'un plan, projeté orthogonal p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — représentation paramétrique, $2x - 3y + z - 6 = 0$ , position relative de deux droites, orthogonalité d'une droite et d'un plan, projeté orthogonal, $-3x + y - a^2z + 3 = 0$

Exercice 3 — Arbre pondéré, probabilités conditionnelles et loi binomiale : vaccination et contamination p. 2–3

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, $P_C(V)$ , $P(C \cap V)$ , probabilités totales, $P_V(C)$ , $P(X = 4)$

Exercice 4 — Suite récurrente d'ordre 2 : suite auxiliaire géométrique, forme explicite par récurrence et convergence p. 3–4

Suites récurrentes linéaires · Suites arithmétiques et géométriques — $u_{n+2} = u_{n+1} - \frac{1}{4}u_n$ , $w_n = u_{n+1} - \frac{1}{2}u_n$ , suite géométrique, raisonnement par récurrence, $u_n = n\left(\frac{1}{2}\right)^n$ , suite décroissante, conjecture

Dans l'édifice

Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire