AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2023 — Jour 2, 27 septembre 2023

Arbre pondéré, espérance et loi binomiale, plan tangent à une sphère, suite récurrente et suite géométrique auxiliaire, fonction logarithme et convexité · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise trois tirs successifs sur une cible par un arbre pondéré, établit la loi et l'espérance du nombre de cibles atteintes, puis compte les joueurs gagnants par une loi binomiale et cherche le nombre minimal de joueurs pour qu'il y ait au moins un gagnant avec une probabilité d'au moins $0{,}98$ . Le deuxième, dans l'espace, établit l'équation $x + y + z + 2 = 0$ du plan $(ABC)$ , calcule le projeté orthogonal de $\Omega$ sur ce plan, montre qu'un plan est tangent à la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ , et paramètre l'intersection de deux plans. Le troisième étudie la suite $u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6$ : il fait compléter une fonction Python qui la calcule, démontrer par récurrence que $u_n \geqslant 2n$ , en déduire sa limite et établir sa croissance, puis conjecturer à partir d'un affichage Python et démontrer que $v_n = u_n - 2n + 1$ est géométrique, d'où la forme explicite de $u_n$ . Le quatrième étudie $f(x) = \ln\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right) + \frac{1}{4}x$ , ses variations et la solution $\alpha$ de $f(x) = 1$ , puis utilise sa convexité pour montrer que la portion de courbe sur $[-\alpha, \alpha]$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$ formé avec la tangente en 0, et démontre que ce quadrilatère est un parallélogramme.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Trois tirs successifs : arbre pondéré, loi et espérance du nombre de succès, loi binomiale et seuil p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale — arbre pondéré, probabilités conditionnelles, loi de probabilité, espérance, loi binomiale, nombre minimal de joueurs

Exercice 2 — Plan $(ABC)$ , projeté orthogonal, sphère de centre $\Omega$ et plan tangent, intersection de deux plans p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — $x + y + z + 2 = 0$ , vecteur normal, projeté orthogonal sur un plan, sphère de rayon $2\sqrt{3}$ , plan tangent à une sphère, intersection de deux plans, représentation paramétrique

Exercice 3 — Suite $u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6$ : récurrence, limite, monotonie et suite géométrique auxiliaire conjecturée en Python p. 3–4

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6$ , raisonnement par récurrence, $u_n \geqslant 2n$ , limite infinie, $v_n = u_n - 2n + 1$ , suite géométrique, conjecture, programme Python

Exercice 4 — Fonction $f(x) = \ln\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right) + \frac{1}{4}x$ : variations, valeurs intermédiaires, convexité et parallélogramme p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité — $f(x) = \ln\left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right) + \frac{1}{4}x$ , $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x} - 3}{4\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}$ , théorème des valeurs intermédiaires, $f''(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^2}$ , convexité, tangente, parallélogramme

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine