AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2012 — Remplacement, 13 septembre 2012

QCM de géométrie dans l'espace, configurations par les nombres complexes et similitudes, chemins sur un quadrillage et loi binomiale, fonction $\frac{x}{\ln x}$ et suite récurrente · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM justifié sur une droite, des plans et une sphère de l'espace. L'exercice 2 de l'enseignement obligatoire montre, d'abord sur un exemple puis en général à l'aide de $\frac{z_D - z_A}{z_E} = \mathrm{i}$ , que deux segments issus de deux triangles rectangles isocèles sont perpendiculaires et de même longueur ; celui de spécialité établit une propriété analogue par deux méthodes utilisant des similitudes directes et leur composée. Le troisième dénombre les chemins sur un quadrillage, dont le nombre est un coefficient binomial, puis montre que le nombre de déplacements vers le nord d'un promeneur aléatoire suit une loi binomiale. Le dernier étudie $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ et la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ , dont on conjecture graphiquement le comportement avant de démontrer qu'elle converge, puis exploite un algorithme de seuil.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM de géométrie dans l'espace : droite, plans et sphère p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, représentation paramétrique, position relative d'une droite et d'un plan, plan contenant une droite et perpendiculaire à un plan, intersection de deux plans, intersection d'une sphère et d'un plan

Exercice 2 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Triangles rectangles isocèles et nombres complexes p. 2

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — forme exponentielle, rotation, translation, triangle rectangle isocèle, parallélogramme, $\frac{z_D - z_A}{z_E} = \mathrm{i}$ , vecteurs orthogonaux

Exercice 2 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Similitudes directes, composée et perpendicularité p. 2–3

Géométrie affine et euclidienne · Nombres complexes — similitude directe, angle et rapport, écriture complexe, rotation, composée de similitudes, droites perpendiculaires, distances égales

Exercice 3 — Chemins sur un quadrillage, coefficients binomiaux et loi binomiale p. 3–5

Dénombrement de configurations · Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale — chemins sur un quadrillage, dénombrement, $\binom{p+q}{p}$ , chemins passant par un point, loi binomiale de paramètres 5 et $\frac{2}{3}$

Exercice 4 — Étude de $\frac{x}{\ln x}$ et suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ p. 5–6

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes · Points fixes et suites itératives · Informatique et algorithmique — $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ , minimum, suite récurrente, construction graphique des termes, suite décroissante minorée, limite $\mathrm{e}$ , algorithme

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Théorème de définition par récurrence