AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2018 — Remplacement, 6 septembre 2018

Probabilités conditionnelles, loi normale et fluctuation, famille de fonctions exponentielles et intégrale, section d'un cube, suite récurrente et logarithme ou suite d'entiers et congruences · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice enchaîne un arbre pondéré avec une probabilité conditionnelle inversée, une loi normale dont on règle l'espérance pour atteindre 98 % de paquets conformes, puis un intervalle de fluctuation. Le deuxième fait conjecturer graphiquement le comportement de $f_2(x) = (x+2)\mathrm{e}^{-x}$ , puis étudie la famille $f_m(x) = (x+m)\mathrm{e}^{-x}$ (limites, variations, tangentes en $0$ passant par un même point, signe) et la limite de $\int_{-2}^{x} f_2(t)\,\mathrm{d}t$ . Le troisième coupe un cube par le plan $4x + 15z - 9 = 0$ et cherche un plan parallèle qui le partage en deux prismes de même volume. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $u_{n+1} = \mathrm{e} \times \sqrt{u_n}$ à l'aide de $v_n = \ln(u_n) - 2$ , et les spécialistes la suite d'entiers $u_{n+1} = 3u_n + 1$ (termes consécutifs premiers entre eux, parité, congruences modulo $7$ et $5$ ).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré et probabilité conditionnelle, loi normale et intervalle de fluctuation p. 1

Conditionnement et indépendance · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, loi normale d'espérance $\mu_1 = 251$ et d'écart-type $\sigma = 2$ , réglage de l'espérance $\mu_2$ , intervalle de fluctuation asymptotique, billes de chocolat

Exercice 2 — Famille de fonctions $f_m(x) = (x+m)\mathrm{e}^{-x}$ : limites, variations, tangentes et intégrale p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f_m(x) = (x+m)\mathrm{e}^{-x}$ , conjecture graphique, tangente $T_m : y = (1-m)x + m$ , point commun à toutes les tangentes, primitive $F_2(x) = -(x+3)\mathrm{e}^{-x}$ , $\int_{-2}^{x} f_2(t)\,\mathrm{d}t$

Exercice 3 — Section d'un cube par un plan et partage en deux prismes de même volume p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , plan $P_1 : 4x + 15z - 9 = 0$ , section $IJKL$ , volume d'un prisme, plans parallèles, équation cartésienne d'un plan

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite $u_{n+1} = \mathrm{e} \times \sqrt{u_n}$ et suite géométrique auxiliaire $v_n = \ln(u_n) - 2$ p. 4

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme — $u_{n+1} = \mathrm{e} \times \sqrt{u_n}$ , raisonnement par récurrence, $1 \leqslant u_n \leqslant \mathrm{e}^2$ , suite croissante majorée, $v_n = -\frac{1}{2^{n-1}}$ , vrai-faux sur le premier terme

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite d'entiers $u_{n+1} = 3u_n + 1$ : termes premiers entre eux, parité et congruences p. 5

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Suites arithmétiques et géométriques · Nombres premiers — $u_{n+1} = 3u_n + 1$ , nombres premiers entre eux, parité, $2u_n = 3^n - 1$ , $3^n \equiv 1 \pmod{7}$ , reste de la division euclidienne par 5, primalité de $u_p$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ Théorème fondamental de l'arithmétique