AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2023 — Jour 2, 24 mars 2023

Géométrie dans l'espace et aire d'un triangle, fonction logarithme composée et conjectures graphiques, suite arithmético-géométrique et radioactivité, QCM sur une liste arithmétique et des probabilités · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice, dans deux cubes accolés, calcule le volume du tétraèdre $FIGB$ , montre que $\overrightarrow{DJ}$ est normal au plan $(BIG)$ d'équation $2x - y + z - 2 = 0$ , vérifie que le projeté orthogonal de $F$ sur ce plan est $L'\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{6} ; \frac{5}{6}\right)$ , calcule $FL'$ et en déduit l'aire du triangle $IGB$ . Le deuxième étudie la fonction auxiliaire $g(x) = \mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} + 1$ et son signe, puis $f(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} + 1\right)$ : dérivée, tangente en 0, croissance sur $\left[-\ln(2), +\infty\right[$ et solution de $f(x) = 2$ , afin de valider ou de rejeter trois conjectures d'un élève. Le troisième modélise la désintégration du polonium par la suite $v_{n+1} = 0{,}995v_n + 1{,}5 \times 10^{19}$ , établit sa convergence et son expression explicite, cherche un seuil par le calcul et complète une fonction Python. Le quatrième est un QCM sur une liste de termes d'une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison 3 : nombre de termes, probabilités, probabilités conditionnelles et tirages successifs avec remise.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Deux cubes : volume du tétraèdre $FIGB$ , plan $(BIG)$ , projeté orthogonal et aire du triangle $IGB$ p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — volume d'un tétraèdre, vecteur normal, $2x - y + z - 2 = 0$ , représentation paramétrique, projeté orthogonal sur un plan, $L'\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{6} ; \frac{5}{6}\right)$ , aire d'un triangle

Exercice 2 — Fonction $f(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} + 1\right)$ : fonction auxiliaire, tangente, valeurs intermédiaires et validation de conjectures p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Second degré — $g(x) = \mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{x} + 1$ , $g'(x) = \mathrm{e}^{x}\left(2\mathrm{e}^{x} - 1\right)$ , changement de variable $X = \mathrm{e}^{x}$ , $f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ , tangente, théorème des valeurs intermédiaires, conjectures graphiques

Exercice 3 — Désintégration du polonium : suite $v_{n+1} = 0{,}995v_n + 1{,}5 \times 10^{19}$ , suite géométrique auxiliaire et Python p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $v_{n+1} = 0{,}995v_n + 1{,}5 \times 10^{19}$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, $u_n = v_n - 3 \times 10^{21}$ , suite géométrique, seuil, liste Python

Exercice 4 — QCM : termes d'une suite arithmétique, probabilités, arbre pondéré et tirages avec remise p. 4–5

Suites arithmétiques et géométriques · Espaces probabilisés · Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Arithmétique des entiers — QCM, suite arithmétique, nombre de termes, multiple de 4, arbre pondéré, $P_B(A)$ , tirages avec remise

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Anneaux de polynômes Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique