AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2023 — Jour 1, 21 mars 2023 (Centres étrangers groupe 2)

Fonction logarithme et fonction auxiliaire, probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique, QCM d'analyse, géométrie dans l'espace et distance d'un point à un plan · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la fonction auxiliaire $g(x) = \ln\left(x^2\right) + x - 2$ et son unique zéro $\alpha$ , puis la fonction $f(x) = \frac{x - 2}{x}\ln(x)$ : limites, asymptote, dérivée $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ , variations, et position de sa courbe par rapport à celle de $\ln$ . Le deuxième modélise le choix quotidien entre vélo et transports en commun par un arbre pondéré, calcule une probabilité conditionnelle inverse, établit $p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6$ , démontre par récurrence $p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}$ et en déduit la limite. Le troisième est un QCM sur une primitive, l'ensemble de définition d'un logarithme, la convexité de $(x+1)\mathrm{e}^{x}$ et des suites. Le quatrième établit l'équation $13x - 16y - 9z - 17 = 0$ d'un plan, le projeté orthogonal $E$ d'un point $F$ sur ce plan, la distance de $F$ au plan et les points d'une droite situés à la moitié de cette distance.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonctions $g(x) = \ln\left(x^2\right) + x - 2$ et $f(x) = \frac{x - 2}{x}\ln(x)$ : valeurs intermédiaires, variations et position relative p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité — $g(x) = \ln\left(x^2\right) + x - 2$ , théorème des valeurs intermédiaires, encadrement, $f(x) = \frac{x - 2}{x}\ln(x)$ , asymptote verticale, $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ , position relative de deux courbes

Exercice 2 — Vélo ou transports en commun : arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse et suite $p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6$ p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes · Chaînes de Markov — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse, $p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6$ , raisonnement par récurrence, $p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}$ , limite

Exercice 3 — QCM d'analyse : primitive, ensemble de définition d'un logarithme, convexité, suites p. 2–3

Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Fonctions convexes · Suites numériques — QCM, primitive de $x\mathrm{e}^{x}$ , $g(x) = \ln\left(\frac{x - 1}{2x + 4}\right)$ , $h(x) = (x+1)\mathrm{e}^{x}$ , suite minorée convergente, $w_{n+1} = \frac{1}{n}w_n$

Exercice 4 — Plan défini par trois points, projeté orthogonal et distance d'un point à un plan p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, $13x - 16y - 9z - 17 = 0$ , droite orthogonale à un plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal sur un plan, distance d'un point à un plan

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels et sous-espaces