AnnalesBaccalauréat

Bac Liban Terminale 2015 — Session normale, 27 mai 2015

Géométrie dans le cube, suite d'intégrales, tangente et intersection exponentielle-droite, probabilités conditionnelles et sondage ou matrices et suites · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice établit dans un cube que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK), puis calcule un point d'intersection, l'aire de IJK et le volume du tétraèdre FIJK. Le deuxième exercice étudie la suite d'intégrales $u_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$ à l'aide de la relation $u_{n+1} + u_n = \frac{1}{n+1}$ , puis d'un algorithme qui fait conjecturer son comportement, avant de démontrer qu'elle décroît, converge et a pour limite 0. Le troisième exercice fait conjecturer puis démontrer le nombre de points communs à la courbe de l'exponentielle et à la droite d'équation $y = mx$ . Au choix, les non-spécialistes redressent un sondage par probabilités conditionnelles et un intervalle de confiance, et les spécialistes étudient l'arrêt du tabac par la décomposition $M^n = A + 0{,}5^n B$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Cube : droite orthogonale à un plan, intersection, aire et volume d'un tétraèdre p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, droite orthogonale à un plan, équation cartésienne d'un plan, représentation paramétrique, volume d'un tétraèdre, droites sécantes

Exercice 2 — Suite d'intégrales $\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$ : relation de récurrence, algorithme et limite p. 1–2

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — suite d'intégrales, $u_{n+1} + u_n = \frac{1}{n+1}$ , algorithme, suite décroissante minorée, positivité de l'intégrale, limite nulle

Exercice 3 — Tangente à la courbe exponentielle et nombre d'intersections avec la droite $y = mx$ p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité — tangente, conjecture graphique, nombre de solutions d'une équation, étude de fonction à paramètre, $y = mx$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Sondage : arbre pondéré, probabilités conditionnelles et intervalle de confiance p. 3

Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, redressement d'un sondage, intervalle de confiance, nombre moyen d'appels

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrice de transition, tableur et puissances $M^n = A + 0{,}5^n B$ p. 3–4

Calcul matriciel · Chaînes de Markov · Informatique et algorithmique — matrice de transition, tableur, $X_{n+1} = MX_n$ , matrices idempotentes, puissances d'une matrice, comportement à long terme

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Dérivabilité Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Matrices d'une application linéaire