AnnalesBaccalauréat

Bac Liban Terminale 2019 — Session normale, 31 mai 2019

Fonction logarithme et aire maximale d'un triangle, transformation complexe et cercle, tétraèdre bicoin et sphère circonscrite, arbre pondéré et suite arithmético-géométrique ou matrices et bassins · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = x(1 - \ln x)^2$ sur $\left]0, 1\right]$ , puis l'aire du triangle formé par les axes et la tangente à la courbe de $\ln$ , égale à $\frac{1}{2}a(1 - \ln a)^2$ , dont il détermine le maximum. Le deuxième exercice étudie la transformation $z' = -\frac{1}{z}$ : image de points, image de l'intérieur du disque unité, et appartenance à la droite d'équation $x = 1$ de l'image de tout point, distinct de $O$ , du cercle d'équation $x^2 + x + y^2 = 0$ . Le troisième définit le bicoin, tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles, montre que le milieu de la plus longue arête est équidistant des sommets, puis construit un tel tétraèdre dans un repère et détermine le centre et le rayon de la sphère passant par ses quatre sommets. Au choix, les non-spécialistes étudient le retour des bouteilles par un arbre pondéré et la suite $r_{n+1} = 0{,}75r_n + 0{,}2$ , et les spécialistes suivent le remplissage de deux bassins par $U_{n+1} = MU_n + C$ et une diagonalisation de $M$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction logarithme, tangente et aire maximale d'un triangle p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Extrema et optimisation — $f(x) = x(1 - \ln x)^2$ , $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$ , tangente, $\mathcal{A}(a) = \frac{1}{2}a(1 - \ln a)^2$ , aire maximale, tableau de variations

Exercice 2 — Transformation complexe, forme exponentielle et image d'un cercle p. 2

Nombres complexes — $z' = -\frac{1}{z}$ , forme exponentielle, $z' = \frac{1}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi - \theta)}$ , disque unité, $x^2 + x + y^2 = 0$ , image d'un cercle

Exercice 3 — Tétraèdre bicoin, orthogonalité dans l'espace et sphère circonscrite p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — bicoin, droite orthogonale à un plan, triangle rectangle isocèle, représentation paramétrique, $t^2 - 4t = 0$ , sphère circonscrite

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Arbre pondéré et suite arithmético-géométrique p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, $r_{n+1} = 0{,}75r_n + 0{,}2$ , $r_n = 0{,}1 \times 0{,}75^{n-1} + 0{,}8$ , limite d'une suite

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Bassins communicants : suite matricielle et diagonalisation p. 4–5

Calcul matriciel · Diagonalisation · Suites numériques — $U_{n+1} = MU_n + C$ , $P^2 = I$ , $PMP = D$ , $M^n = PD^nP$ , $X = MX + C$ , suite croissante et majorée

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Applications différentiables Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ