AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2012 — Session normale, 21 juin 2012

Lecture graphique de la dérivée, arbre pondéré et loi binomiale, suite $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n$ et comparaison avec une intégrale, image d'une droite par des transformations complexes · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un vrai-faux justifié qui déduit de la courbe de $f'$ des propriétés de $f$ et de sa tangente en 0. Le deuxième modélise une procédure de recrutement par un arbre pondéré, puis utilise une loi binomiale et cherche un nombre minimal de dossiers. Le troisième étudie $f(x) = \frac{1}{x+1} + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)$ , puis la suite $u_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n$ , conjecture son comportement à l'aide d'un algorithme et démontre sa convergence en comparant $\frac{1}{k}$ à $\int_k^{k+1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ . Le quatrième exercice, au choix, détermine l'image d'une droite par $z \mapsto \frac{1}{z+1}$ ou, pour la spécialité, par $z \mapsto \frac{1}{(1+\mathrm{i})z + 3 - \mathrm{i}}$ , en décomposant chaque application en une transformation suivie de $z \mapsto \frac{1}{z}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Vrai-faux : lecture graphique de la dérivée, variations et tangente p. 1

Dérivabilité — vrai-faux, courbe de la dérivée, signe de la dérivée, sens de variation, tangente, lecture graphique

Exercice 2 — Arbre pondéré, loi binomiale et nombre minimal d'essais p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale — arbre pondéré, probabilités composées, événement contraire, loi binomiale de paramètres 5 et 0,07, probabilité d'au moins un succès, seuil

Exercice 3 — Étude d'une fonction logarithme et convergence de la suite $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n$ p. 2–4

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Comparaison série-intégrale · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — $f(x) = \frac{1}{x+1} + \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)$ , somme des inverses, algorithme, conjecture, $\ln(k+1) - \ln k \leqslant \frac{1}{k}$ , suite décroissante minorée

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Image d'une droite par $z \mapsto \frac{1}{z+1}$ p. 4

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — $z' = \frac{1}{z+1}$ , translation, médiatrice, $z \mapsto \frac{1}{z}$ , image d'une droite, cercle privé d'un point

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Similitude et image d'une droite par $z \mapsto \frac{1}{(1+\mathrm{i})z + 3 - \mathrm{i}}$ p. 5

Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — similitude directe, image d'une droite, $z \mapsto \frac{1}{z}$ , $\left|\frac{1}{z} - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$ , cercle, composée de transformations

Dans l'édifice

Dérivabilité Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème de définition par récurrence Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces