AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2021 — Jour 2, 8 juin 2021

QCM de géométrie dans l'espace, test de dépistage et loi binomiale, suite récurrente et suite arithmétique auxiliaire, fonction logarithme et position de deux courbes ou fonction exponentielle et convexité · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM de géométrie dans l'espace : appartenance d'un point à une droite, vecteur directeur, position relative de deux droites et parallélisme d'une droite et d'un plan. Le deuxième traite un test de dépistage de la leucose féline par un arbre pondéré, puis par la loi binomiale, et cherche avec un programme Python la plus petite taille d'échantillon pour laquelle $p_n = 1 - 0{,}55^n$ atteint au moins $0{,}99$ . Le troisième fait conjecturer au tableur puis démontrer que $v_n = \frac{4}{u_n}$ est arithmétique pour la suite $u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}$ , et en déduit sa limite. Au choix, l'exercice A étudie $h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x^2}$ pour comparer les positions de deux courbes, et l'exercice B étudie $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ (variations, équation $f(x) = 2$ , convexité et point d'inflexion).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : droites et plan de l'espace, représentation paramétrique et parallélisme p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, représentation paramétrique, vecteur directeur, position relative de deux droites, $x + my - 2z + 8 = 0$ , droite parallèle à un plan

Exercice 2 — Test de dépistage : arbre pondéré, loi binomiale et seuil en Python p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Informatique et algorithmique — arbre pondéré, probabilités totales, loi binomiale, $P(X \leqslant 8)$ , $p_n = 1 - 0{,}55^n$ , fonction Python de seuil

Exercice 3 — Suite $u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}$ : conjecture au tableur, suite arithmétique auxiliaire et limite p. 3

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{4u_n}{u_n + 4}$ , conjecture, feuille de calcul, raisonnement par récurrence, $v_n = \frac{4}{u_n}$ , suite arithmétique

Exercice A — Au choix du candidat — Fonction $1 + \frac{\ln(x)}{x^2}$ et position relative de deux courbes p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x^2}$ , $h'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$ , théorème des valeurs intermédiaires, $f_1(x) - f_2(x) = h(x)$ , position relative de deux courbes

Exercice B — Au choix du candidat — Fonction $(x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ : lecture de $f'$ , variations, convexité et point d'inflexion p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Continuité — courbe de la dérivée, $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ , asymptote horizontale, $f'(x) = (-x - 1)\mathrm{e}^{-x}$ , théorème des valeurs intermédiaires, point d'inflexion

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Théorème de définition par récurrence Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point