AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2022 — Jour 2 (remplacement), 9 septembre 2022 (Métropole, Antilles-Guyane)

Probabilités conditionnelles, espérance et loi binomiale (location de vélos), QCM (suites, convexité, primitive), fonction $x - x\ln x$ et suite récurrente, distance entre deux droites de l'espace · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine par les probabilités totales la probabilité $\alpha$ de louer un vélo de route, puis une probabilité conditionnelle inversée, la loi et l'espérance du prix de location et une loi binomiale de paramètres 30 et 0,58. Le deuxième exercice est un QCM sur la nature d'une suite auxiliaire, deux suites couplées et le programme Python qui les calcule, la convexité lue sur la courbe de $f'$ , la dérivée seconde en un point et une primitive de $(x^2 + 1)\mathrm{e}^x$ . Le troisième exercice étudie $f(x) = x - x\ln x$ , puis la suite $u_{n+1} = u_n - u_n\ln u_n$ (encadrement par récurrence, convergence, limite) et enfin le maximum de $f_k(x) = kx - x\ln x$ . Le quatrième exercice détermine la perpendiculaire commune à deux droites non parallèles, le plan $\mathcal{P}$ qui contient l'une d'elles et cette perpendiculaire, la distance $MM'$ , puis le volume d'un tétraèdre dont un sommet décrit une droite parallèle au plan $\mathcal{P}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi et espérance d'un prix, loi binomiale (location de vélos) p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, $p(E) = 0{,}7 - 0{,}3\alpha$ , probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi de probabilité de $X$ , espérance, loi binomiale de paramètres 30 et 0,58

Exercice 2 — QCM : suite auxiliaire, suites couplées avec Python, convexité, dérivée seconde et primitive p. 2–3

Suites numériques · Fonctions convexes · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique — QCM, $a_{n+1} = 0{,}5a_n + 1$ , suites couplées $u_{n+1} = u_n + 3v_n$ , $v_{n+1} = u_n + v_n$ , programme Python, courbe de $f'$ , tangente et $f''(1)$ , primitive de $(x^2 + 1)\mathrm{e}^x$

Exercice 3 — Fonction $x - x\ln x$ , suite récurrente $u_{n+1} = u_n - u_n\ln u_n$ et famille $f_k$ p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Suites numériques · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x - x\ln x$ , $f'(x) = -\ln x$ , $0{,}5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$ , raisonnement par récurrence, limite d'une suite, $f_k(x) = kx - x\ln x$ , maximum atteint en $x_k = \mathrm{e}^{k-1}$

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace : perpendiculaire commune et distance entre deux droites, volume d'un tétraèdre p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — droites non parallèles, perpendiculaire commune, vecteur normal, équation $2x - y - 5z = 0$ , distance $MM'$ , droite parallèle à un plan, volume du tétraèdre $ANMM'$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Limite d'une fonction en un point Espaces vectoriels et sous-espaces