AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2023 — Jour 1 (remplacement), 11 septembre 2023 (Métropole, Antilles-Guyane)

QCM sur primitive, suites et algorithme de seuil, plans et projeté orthogonal dans l'espace, test d'allergie et loi binomiale, fonction $\mathrm{e}^x\ln(x)$ et convexité · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM : primitive de $x\mathrm{e}^{x^2-3}$ , nature de la suite $u_n = \mathrm{e}^{2n+1}$ , condition de la boucle d'un algorithme de seuil pour $u_{n+1} = 1{,}2u_n + 12$ , et nature de la suite auxiliaire $v_n = u_n + 60$ . Le deuxième exercice montre que $A$ , $B$ , $C$ définissent un plan $P$ d'équation $2x + y - z - 3 = 0$ , que $(CD)$ lui est orthogonale, que la droite $\Delta$ y est incluse, puis calcule la distance de $D$ à $\Delta$ par le projeté orthogonal $H$ . Le troisième exercice traite un test d'allergie par un arbre pondéré, détermine $p(A)$ à partir de $p(T) = 0{,}927x + 0{,}043$ et une probabilité conditionnelle inversée, puis utilise une loi binomiale sur 150 habitants. Le quatrième exercice étudie $g(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \ln x$ (croissance, solution $\alpha$ , signe) pour en déduire la convexité, le point d'inflexion et les variations de $f(x) = \mathrm{e}^x\ln x$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : primitive, nature de suites et algorithme de seuil p. 1–2

Suites arithmétiques et géométriques · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — primitive de $x\mathrm{e}^{x^2-3}$ , $u_n = \mathrm{e}^{2n+1}$ , nature d'une suite, $u_{n+1} = 1{,}2u_n + 12$ , algorithme de seuil, boucle while

Exercice 2 — Plan défini par trois points, droite orthogonale, droite incluse dans un plan et projeté orthogonal p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — équation cartésienne d'un plan, vecteur normal, droite orthogonale à un plan, droite incluse dans un plan, projeté orthogonal, distance d'un point à une droite

Exercice 3 — Test d'allergie : arbre pondéré, probabilité conditionnelle inversée et loi binomiale p. 2–3

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, $p(T) = 0{,}927x + 0{,}043$ , probabilité conditionnelle, loi binomiale, $P(X = 20)$

Exercice 4 — Fonction auxiliaire $g$ , convexité et variations de $\mathrm{e}^x\ln x$ p. 3–4

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Second degré — fonction auxiliaire, $g(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \ln x$ , valeurs intermédiaires, $f(x) = \mathrm{e}^x\ln x$ , dérivée seconde, point d'inflexion, tableau de variations

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Anneaux de polynômes