AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2024 — Jour 1 (secours), 19 juin 2024 (Métropole, Antilles-Guyane)

Cube : plan orthogonal à une droite, projeté orthogonal et volume, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, fonction $x - \ln(x^2 + 1)$ , suite récurrente et encadrement d'intégrale, vrai-faux sur les fonctions · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine dans un cube une équation du plan $P$ orthogonal à la droite $(IC)$ passant par $G$ , le projeté orthogonal $J$ de $C$ sur ce plan, puis le volume de la pyramide $CBKG$ et l'aire du triangle $BKG$ . Le deuxième utilise une loi binomiale pour le temps passé par 10 clients dans une station-service, puis l'espérance et la variance du temps d'attente total $S = T_1 + T_2 + T_3$ , somme de trois durées de passage à la pompe, et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le troisième étudie $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$ , la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ de premier terme 7, dont il montre la convergence et détermine la limite, un script Python de seuil et un encadrement de $\int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x$ . Le quatrième est un vrai-faux sur un tableau de variations, des limites, un point d'inflexion de $x\mathrm{e}^{-x}$ et le nombre de solutions de $x\ln(x) = 1$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Cube : plan orthogonal à $(IC)$ , projeté orthogonal, volume de la pyramide $CBKG$ et intersection de plans p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube, représentation paramétrique d'une droite, plan orthogonal à une droite, équation cartésienne $x + 2y - 2z - 4 = 0$ , projeté orthogonal sur un plan, intersection de deux plans, volume d'une pyramide, droite incluse dans un plan

Exercice 2 — Station-service : loi binomiale, temps d'attente total comme somme de trois durées et inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 2

Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Espérance, variance, moments — loi binomiale de paramètres $10$ et $0{,}25$ , $P(X \geqslant 4)$ , espérance, $S = T_1 + T_2 + T_3$ , variance d'une somme de variables indépendantes, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 3 — Fonction $x - \ln(x^2 + 1)$ : variations, suite récurrente, script Python et encadrement d'une intégrale p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Suites numériques · Intégrale sur un segment · Informatique et algorithmique · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$ , $f'(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$ , $u_{n+1} = u_n - \ln(u_n^2 + 1)$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, algorithme de seuil, encadrement $1 \leqslant I \leqslant 2$

Exercice 4 — Vrai-faux : tableau de variations, asymptotes et limites, point d'inflexion et équation $x\ln(x) = 1$ p. 4

Limites de fonctions et asymptotes · Fonctions convexes · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, tableau de variations, asymptote horizontale, $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2}{f(x) - 5}$ , $g(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ , point d'inflexion, $x\ln(x) = 1$ , théorème des valeurs intermédiaires

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Exponentielle et logarithme Dérivabilité Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de définition par récurrence Limite d'une fonction en un point