AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2024 — Jour 2 (secours), 20 juin 2024 (Métropole, Antilles-Guyane)

Carte de fidélité : probabilités conditionnelles, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, vrai-faux de géométrie dans l'espace, suite $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2$ selon $u_0$ , fonction $(x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ et aire d'un domaine non borné · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice exploite un arbre pondéré pour vérifier une affirmation sur les clients fidèles, utilise une loi binomiale pour un échantillon de 20 clients, puis calcule l'espérance et la variance d'un montant moyen $Z$ et applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième est un vrai-faux sur un vecteur normal, une représentation paramétrique, une équation de plan et la coplanarité de deux droites. Le troisième étudie la suite $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2$ : convergence par récurrence lorsque $1 < a < 2$ , conjecture à l'aide d'un programme Python pour $a = 2$ , puis cas général grâce à la suite géométrique $v_n = \ln(u_n - 1)$ . Le quatrième lit graphiquement une fonction, sa tangente et ses primitives, en retrouve l'expression $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ , étudie ses variations et sa convexité, puis calcule $I(t) = \int_{-2}^{t} f(x)\,\mathrm{d}x$ par intégration par parties pour exhiber un domaine non borné d'aire finie.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Carte de fidélité : arbre pondéré, loi binomiale, somme de variables et Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, $P_F(R)$ , loi binomiale de paramètres $20$ et $0{,}38$ , $P(X \geqslant 5)$ , $Y = Y_1 + Y_2$ et $Z = \frac{Y}{1000}$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — Vrai-faux de géométrie dans l'espace : vecteur normal, représentation paramétrique, plan et coplanarité de deux droites p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, vecteur normal, représentation paramétrique d'une droite, plan orthogonal à une droite, équation cartésienne $2x + 2y - z - 9 = 0$ , coplanarité de deux droites

Exercice 3 — Suite $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2$ : récurrence, programme Python et suite géométrique $\ln(u_n - 1)$ p. 3–4

Suites numériques · Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2$ , raisonnement par récurrence, suite monotone bornée, conjecture à l'aide de Python, $v_n = \ln(u_n - 1)$ , $u_n = 1 + \mathrm{e}^{2^n \times \ln(a - 1)}$ , limite selon la valeur de $a$

Exercice 4 — Fonction $(x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ : lecture graphique, primitive, convexité et aire d'un domaine non borné p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — lecture graphique, tangente, courbe d'une primitive, $f(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{\lambda x}$ , $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ , point d'inflexion, $I(t) = (-t - 3)\mathrm{e}^{-t} + \mathrm{e}^2$ , intégration par parties

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point