AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2015 — Remplacement, mars 2016

Probabilités conditionnelles et loi normale, aire entre deux courbes, famille de plans de l'espace, suite de nombres complexes ou chiffrement affine itéré · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule des probabilités conditionnelles sur des médailles, puis la proportion de pièces non conformes pour une loi normale et l'écart-type qui donne 6 % de non-conformes. Le deuxième exercice compare les aires de deux surfaces hachurées entre les courbes de $\ln(x+1)$ et de $\ln(x+1) + 1 - \cos x$ . Le troisième étudie la famille de plans $P_m$ d'équation $\frac{1}{4}m^2x + (m-1)y + \frac{1}{2}mz - 3 = 0$ , leur point commun et une condition de perpendicularité explorée par un algorithme. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $z_{n+1} = \left(1 + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{3}\right) z_n$ , la suite géométrique des longueurs $A_nA_{n+1}$ et une construction à la règle et au compas, et les spécialistes inversent un chiffrement affine modulo 26 puis l'itèrent selon une clé à l'aide de suites arithmético-géométriques.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi normale et détermination d'un écart-type p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi normale, variable centrée réduite, détermination de $\sigma$

Exercice 2 — Aire entre deux courbes avec logarithme et cosinus p. 2–6

Intégrale sur un segment · Fonctions trigonométriques · Fonctions exponentielle et logarithme — $f(x) = \ln(x+1)$ , $g(x) = \ln(x+1) + 1 - \cos x$ , aire entre deux courbes, primitive du cosinus, comparaison d'aires

Exercice 3 — Famille de plans, intersection, point commun et plans perpendiculaires par algorithme p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace · Informatique et algorithmique — $\frac{1}{4}m^2x + (m-1)y + \frac{1}{2}mz - 3 = 0$ , famille de plans, intersection de deux plans, représentation paramétrique, vecteur normal, plans perpendiculaires, boucles imbriquées

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite géométrique de nombres complexes, triangles rectangles et construction de points p. 3–7

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques · Géométrie affine et euclidienne — $z_{n+1} = \left(1 + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{3}\right) z_n$ , forme exponentielle, points alignés, $d_n = |z_{n+1} - z_n|$ , théorème de Pythagore, construction à la règle et au compas

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Chiffrement affine modulo 26, inverse et itérations par suites arithmético-géométriques p. 4–5

Cryptographie · Suites arithmétiques et géométriques — chiffrement affine, $y \equiv 7x + 5 \pmod{26}$ , $x \equiv 15y + 3 \pmod{26}$ , inverse modulo 26, $a_{n+1} = 7a_n + 5$ , clé de chiffrement

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus La loi normale Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Fonctions trigonométriques Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Théorème de définition par récurrence Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites réelles et limites Les anneaux ℤ/nℤ