AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2022 — Jour 1 (remplacement), 30 août 2022

Probabilités conditionnelles et loi binomiale (test des angines), suite logistique $u_{n+1} = ku_n(1 - u_n)$ , fonctions $\frac{2\ln x}{x}$ et $\left[\ln(x)\right]^2$ et convexité, géométrie dans le cube et volume d'une pyramide · 5 pages

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Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie un test de diagnostic des angines : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, probabilité d'un résultat erroné, puis une loi binomiale de paramètres 50 et 0,0625 et la taille minimale d'échantillon telle que $P(X \geqslant 10) > 0{,}95$ . Le deuxième exercice étudie la suite $u_{n+1} = ku_n(1 - u_n)$ : pour $k = 1{,}9$ , conjecture graphique puis encadrement par récurrence, convergence et limite ; pour $k = \frac{1}{2}$ , convergence vers 0 par encadrement et arrêt d'une boucle Python. Le troisième exercice étudie $g(x) = \frac{2\ln x}{x}$ (dérivée, variations, limites, signe), puis $f(x) = \left[\ln(x)\right]^2$ , dont $g$ est la dérivée, pour en déduire la convexité, les variations, une tangente et une inégalité. Le quatrième exercice, dans un cube, vérifie une équation du plan $(CFI)$ , détermine le projeté orthogonal $K$ de $G$ sur ce plan et la distance de $G$ au plan, puis calcule le volume de la pyramide $GCFI$ et l'aire du triangle $CFI$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Test de diagnostic : probabilités conditionnelles, résultat erroné et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, $P(A \cap T)$ , probabilités totales, probabilité conditionnelle, test erroné, loi binomiale $\mathcal{B}(50 ; 0{,}0625)$ , $P(X \geqslant 10) > 0{,}95$

Exercice 2 — Suite logistique $u_{n+1} = ku_n(1 - u_n)$ : récurrence, convergence et boucle Python p. 2–3

Suites numériques · Dérivabilité · Second degré · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = ku_n(1 - u_n)$ , $f(x) = 1{,}9x(1 - x)$ , conjecture graphique, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}$ , raisonnement par récurrence, théorème des gendarmes, boucle while

Exercice 3 — Fonctions $\frac{2\ln x}{x}$ et $\left[\ln(x)\right]^2$ : variations, primitive, convexité, tangente et inégalité p. 3–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Limites de fonctions et asymptotes · Intégrale sur un segment — $g(x) = \frac{2\ln x}{x}$ , $g'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}$ , $f(x) = \left[\ln(x)\right]^2$ , primitive, tangente au point d'abscisse $\mathrm{e}$ , $\left[\ln(x)\right]^2 \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}x - 1$

Exercice 4 — Géométrie dans le cube : plan $(CFI)$ , projeté orthogonal, distance d'un point à un plan et volume de la pyramide $GCFI$ p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , vecteur normal, équation $x + 2y + 2z - 3 = 0$ , représentation paramétrique, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, volume d'une pyramide, aire du triangle $CFI$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Anneaux de polynômes Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Limite d'une fonction en un point Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Espaces vectoriels et sous-espaces