AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2023 — Jour 1, 13 mars 2023

Usage du vélo : probabilités conditionnelles et loi binomiale, perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires, vrai-faux sur l'exponentielle et Python, suite arithmético-géométrique et fonction logarithme · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice calcule par un arbre pondéré des probabilités sur les usagers du vélo (intersection, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée), puis une probabilité binomiale sur un échantillon de 120 personnes. Le deuxième exercice montre que deux droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires et construit une droite $\Delta$ perpendiculaire à chacune, à l'aide d'un vecteur orthogonal aux deux directions et d'un plan $P$ d'équation $5x + 4y - z - 22 = 0$ . Le troisième exercice est un vrai-faux justifié : convexité de $\mathrm{e}^x - x$ , équation produit, limite de $\frac{\mathrm{e}^{2x} - 1}{\mathrm{e}^x - x}$ , primitive vérifiant une condition initiale et valeur renvoyée par une fonction Python parcourant une liste. Le quatrième exercice étudie $u_{n+1} = 0{,}9u_n - 0{,}3$ (forme explicite, encadrement, monotonie, limite), la fonction $g(x) = \ln(0{,}5x + 1{,}5) - x$ et sa racine $\alpha$ , puis la suite arithmétique $v_n = \ln(0{,}5u_n + 1{,}5)$ pour montrer qu'aucun rang ne vérifie $u_k = v_k$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilités totales, conditionnement inversé et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, $P(X \geqslant 50)$ , tirage avec remise

Exercice 2 — Droites non coplanaires et droite perpendiculaire à chacune d'elles p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — droites non coplanaires, vecteur directeur, vecteur orthogonal, plan dirigé par deux vecteurs, intersection d'une droite et d'un plan, droites perpendiculaires, perpendiculaire commune

Exercice 3 — Vrai-faux : convexité, équation, limite et primitive avec l'exponentielle, fonction Python p. 3

Fonctions exponentielle et logarithme · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes · Informatique et algorithmique — convexité, équation produit nul, limite d'un quotient, primitive, condition initiale, fonction Python parcourant une liste

Exercice 4 — Suite arithmético-géométrique, fonction $\ln(0{,}5x + 1{,}5) - x$ et suite arithmétique auxiliaire p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité — $u_{n+1} = 0{,}9u_n - 0{,}3$ , raisonnement par récurrence, $u_n = 2 \times 0{,}9^n - 3$ , valeurs intermédiaires, suite arithmétique de raison $\ln(0{,}9)$ , encadrement de $\alpha$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces vectoriels et sous-espaces Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Théorème de définition par récurrence Suites réelles et limites Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine