AnnalesEnseignement

CAPES externe 2021 — Écrit disciplinaire appliqué

Suites récurrentes linéaires d'ordre 3 et loi exponentielle de la radioactivité · 8 pages

Le premier problème détermine l'espace des suites vérifiant $u(n+3) = (a+3)u(n+2) - (3a+2)u(n+1) + 2a\,u(n)$ : calcul des premiers termes au tableur, raisonnement par analyse-synthèse pour $a = 0$ , diagonalisation d'une matrice compagnon pour $a = 3$ , puis preuve que cet espace est de dimension 3. Le second modélise la durée de vie d'un noyau radioactif par une loi exponentielle, en établit l'absence de mémoire, l'espérance et l'écart-type, en déduit la loi $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ et la demi-vie, puis simule la loi par inversion en Python ; les deux problèmes demandent des réponses à des élèves.

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Suites récurrentes linéaires d'ordre 3 p. 3–5

Suites récurrentes linéaires · Diagonalisation · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang · Informatique et algorithmique · Enseignement et didactique — récurrence linéaire d'ordre 3, matrice compagnon, puissances d'une matrice, raisonnement par analyse-synthèse, tableur, dimension d'un espace de suites, algorithme de seuil

Problème 2 — Radioactivité et loi exponentielle p. 6–7

Loi exponentielle · Variables à densité · Espérance, variance, moments · Lois des grands nombres · Informatique et algorithmique · Enseignement et didactique — loi exponentielle, absence de mémoire, demi-vie, désintégration radioactive, méthode d'inversion, simulation Python, loi des grands nombres

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Applications linéaires Théorème du rang Théorème de définition par récurrence Principe de récurrence Lois de Poisson et loi exponentielle La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres