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CCINP MP 2017 — Maths 2

Matrices stochastiques et chaînes de Markov · 8 pages

Après l'étude d'une chaîne de Markov à deux états (loi de $X_n$ , temps de premier accès, convergence de $A^n$ par diagonalisation), le sujet montre que les valeurs propres d'une matrice stochastique sont de module au plus 1 et les localise dans des disques de type Gershgorin, puis établit que $1$ est de multiplicité géométrique 1 lorsque la matrice est strictement positive. Il prouve la convergence de la suite des puissances $A^n$ à l'aide d'une réduction en blocs $\lambda I + N$ , en déduit l'existence et l'unicité d'une probabilité invariante, et termine par son calcul itératif en Python.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Un exemple de chaîne de Markov p. 2–3

Chaînes de Markov · Diagonalisation · Loi géométrique · Probabilités totales et formule de Bayes · Matrices stochastiques et bistochastiques — chaîne de Markov à deux états, matrice de transition, temps de premier accès, loi géométrique, convergence de la suite des puissances, continuité des applications linéaires

Partie II — Spectre d'une matrice stochastique p. 4–5

Matrices stochastiques et bistochastiques · Réduction des endomorphismes · Théorème de Perron-Frobenius · Normes subordonnées et applications linéaires continues — matrice stochastique, norme infinie, disques de Gershgorin, localisation des valeurs propres, matrice strictement positive, valeur propre simple

Partie III — Itérées d'une matrice stochastique p. 5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices stochastiques et bistochastiques · Équivalents et comparaison · Coefficients binomiaux · Rayon spectral — puissances d'une matrice, matrice nilpotente, réduction en blocs $\lambda I + N$ , convergence vers la matrice nulle, formule du binôme, contre-exemple

Partie IV — Probabilité invariante par une matrice stochastique p. 6

Chaînes de Markov · Matrices stochastiques et bistochastiques · Topologie, compacité, connexité · Réduction des endomorphismes — probabilité invariante, loi stationnaire, vecteur stochastique, partie fermée, transposée, unicité

Partie V — Informatique : calcul effectif de la probabilité invariante p. 7

Informatique et algorithmique · Chaînes de Markov · Analyse numérique — Python, listes, norme infinie, produit vecteur-matrice, méthode de la puissance, critère d'arrêt

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Matrices d'une application linéaire Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires continues et dual topologique Suites réelles et limites Ensembles finis et principe des tiroirs Spectre premier d'un anneau Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Théorème de définition par récurrence Théorème du point fixe de Banach